Estoy tratando de encontrar una estimación de la región de atracción de un punto de equilibrio. Los apuntes de Control no lineal de Khalil sugieren que definir $$ V(x) = x^TPx, $$ donde $P$ es la solución de $$ PA+A^TP=-I, $$ dará los mejores resultados para una estimación. También asegura que la estimación se puede encontrar a partir de estos tipos de funciones de Lyapunov para puntos de equilibrio exponencialmente estables.
El sistema que estoy estudiando está definido por $$ \begin{gathered} \dot{x}_1 = x_1 - x_1^3 + x_2 \\ \dot{x}_2 = x_1 - 3x_2. \end{gathered} $$ La matriz de linealización alrededor del punto de equilibrio $x^* = \{\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{3\sqrt{3}}\}$ es $A = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3\\ \end{bmatrix} $ , y así, $P = \begin{bmatrix} 3/16 & 1/16 \\ 1/16 & 3/16\\ \end{bmatrix} $ .
Dados los valores anteriores, tomé la derivada de V(x) con respecto al tiempo y sustituí el sistema en la ecuación (lo hice en Mathematica para intentar simplificarlo al máximo), dando $$ \dot{V}(x) = \frac{1}{8}\left(4x_1^2-3x_1^4+4x_1x_2-x_1^3x_2-8x_2^2\right). $$ Ahora necesito encontrar una región donde $\dot{V}(x)$ es negativa definida, pero cuando intento utilizar desigualdades con la norma de $x$ Sólo obtengo normas positivas elevadas a una potencia, y así $\dot{V}(x)$ nunca puede ser negativa definida.
Utilizando $$ |x_1|\leq||x||, \quad |x_1x_2|\leq\frac{1}{2}||x||^2, $$ Llegué a $$ \begin{gathered} \dot{V}(x) \leq \frac{1}{8}\left(4||x||^2+3||x||^4+2||x||^2+\frac{1}{2}||x||^4+8||x||^2\right) \\ \leq \frac{1}{8}\left(14||x||^2+\frac{7}{2}||x||^4\right). \end{gathered} $$ Como puedes ver, nunca es negativo.
¿Estoy siendo demasiado agresivo con la conversión de todo a normas? ¿Cómo puedo encontrar la región donde $\dot{V}(x)$ ¿es negativo?
Gracias de antemano.
