Una simple EDO de segundo orden

Question

Esta puede ser una pregunta muy ingenua, pero ¿existe una solución para una EDO de segundo orden de la forma

$$y''(x) = f(x)y(x)$$

donde $f(x)$ ¿es una función general? Se agradece cualquier información.

Gracias.

Answer 1

$$y''(x)=f(x)y(x)$$

Cita de Fabian : "Este problema no tiene una solución explícita para los genéricos $f(x)$ " . Estoy totalmente de acuerdo.

¿Hay casos especiales de $f(x)$ ¿dónde está la solución? Por supuesto, sí. Algunos ejemplos a continuación (sin ánimo de ser exhaustivos) :

Caso: $f(x)=c^2 \quad\to\quad y(x)=c_1e^{cx}+c_2e^{-cx}=c_3\cosh(cx)+c_4\sinh(cx)$

Caso: $f(x)=-c^2 \quad\to\quad y(x)=c_1\cos(cx)+c_2\sin(cx)$

Caso: $f(x)=x \quad\to\quad y(x)=c_1Ai(x)+c_2Bi(x) \quad $ Funciones de Ary.

Caso: $f(x)=x^2 \quad\to\quad y(x)=c_1 D_{-1/2}(\sqrt{2}x) +c_2 D_{-1/2}(i\sqrt{2}x) \quad $ Función cilíndrica parabólica.

Caso: $f(x)=-\lambda^2 x^{\frac{1}{\nu}-2} \quad\to\quad y(x)=c_1 \sqrt{x}J_{\nu}(\lambda x) +c_2 \sqrt{x}Y_{\nu}(\lambda x) \quad $ Funciones de Bessel.

Caso: $f(x)=\lambda^2 x^{\frac{1}{\nu}-2} \quad\to\quad y(x)=c_1 \sqrt{x}I_{\nu}(\lambda x) +c_2 \sqrt{x}K_{\nu}(\lambda x) \quad $ Funciones de Bessel modificadas.

Caso: $f(x)=-a+2b\cos(2x) \quad\to\quad y(x)= c_1C(a\:,\:b\:;\:x)+c_1S(a\:,\:b\:;\:x)$ Funciones de Mathieu.

Caso: $f(x)=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+C \quad\to\quad y(x)=e^{-\frac{\gamma}{2}x}x^{\frac{\beta}{2}}\left( c_1 M(\alpha\:,\:\beta\:;\:\gamma x)+c_2 U(\alpha\:,\:\beta\:;\:\gamma x) \right) \quad$ con $\begin{cases} \gamma=\pm2\sqrt{C}\\ \beta=1\pm 2\sqrt{A+\frac{1}{4}}\\ \alpha=\frac{\beta}{2}+\frac{B}{\gamma} \end{cases}\quad$ Funciones de Kummer y Tricomi (funciones hipergeométricas confluentes).

Etc.

Answer 2

Tenemos una EDO de 2º orden de la forma

$$\ddot y = f (t) y$$

Dejemos que $x := (y, \dot y)$ . Entonces tenemos un lineal variable en el tiempo (LTV) de la forma

$$\dot x = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ f (t) & 0\end{bmatrix} x$$

Los sistemas LTV se han estudiado a fondo en la teoría de control. Echa un vistazo a Antsaklis y Michel .