¿Por qué necesitamos "span" en álgebra lineal?

Question

En mi curso de álgebra lineal en la universidad empezamos a aprender sobre span y tenía curiosidad por saber para qué sirve y si alguien lo sabe, ¿cómo se relaciona con los gráficos 3D?

Gracias.

Answer 1

Dado un conjunto de vectores, ¿qué puedes hacer con ellos? Bueno, según los axiomas de un espacio vectorial, se puede sumar y restar, o multiplicar por un escalar, ¡y esto es exactamente lo que es la extensión de un conjunto de vectores! Te dan una lista de vectores y te dicen "¡Aquí tienes! Sólo puedes jugar con estos vectores. Mira lo que puedes hacer con ellos". El conjunto de todas las cosas que puedes hacer es la extensión de esos vectores.

El hecho de que la extensión sea un subespacio está bien, siempre es bueno tener objetos que son cerrado bajo ciertas operaciones, y los subespacios son precisamente eso: cerrados bajo la suma de vectores y la multiplicación escalar. Sumar o restar combinaciones lineales, o multiplicarlas por un escalar, es otra combinación lineal. Esto no es cierto para la mayoría de los conjuntos genéricos de vectores, pero sí lo es para el ámbito de un conjunto de vectores. Por lo tanto, los tramos generalmente se comportan de una manera agradable, más agradable que el conjunto de vectores con el que comenzó.

Answer 2

La extensión de un conjunto de vectores es el subespacio generado por estos vectores. Se trata de un objeto intrínsecamente útil. También tiene un significado geométrico inmediato.

• La extensión de un vector $v$ es exactamente la línea que pasa por el origen en dirección $v$ .

• Para dos vectores $v,w$ no es colineal, el tramo es el plano que contiene el origen "abarcado" por $v$ y $w$ que contiene la línea en dirección $v$ y la línea en dirección $w$ .

Answer 3

"Span" puede considerarse una forma de formalizar el concepto de sistema de coordenadas.

Hay muchas situaciones en geometría, física, etc. en las que se necesita establecer un sistema de coordenadas determinado por dos vectores $\vec v,\vec w$ que desempeñan el papel de la unidad $x$ y $y$ -vectores.

Ahora pregúntate: ¿cuál es la relación entre los dos vectores $\vec v,\vec w$ y el conjunto de vectores en el sistema de coordenadas?

Respuesta: el conjunto de vectores en el sistema de coordenadas es la extensión de $\vec v$ y $\vec w$ .

¿Por qué es esto cierto? Haz un dibujo del sistema de coordenadas, con el origen $O$ donde el $\vec v$ y $\vec w$ los ejes se cruzan entre sí; elija una coordenada $s$ en el eje en el $\vec v$ dirección; elija una coordenada $t$ en el eje en el $\vec w$ dirección; dibujar el cuadro habitual que aprendemos en precálculo para localizar el punto $P(s,t)$ en este sistema de coordenadas. Y entonces observa: el vector $OP$ es precisamente la combinación lineal $$s \vec v + t \vec w $$ Al variar la elección de $s,t$ , se obtiene $$\text{Span}(\vec v,\vec w) = \{s \vec v + t \vec w \, \bigm| \, s,t \in \mathbb{R}\} $$

Answer 4

A grandes rasgos, la amplitud de un conjunto de vectores es el conjunto de puntos del espacio vectorial que se pueden alcanzar tomando combinaciones lineales finitas de los vectores del conjunto. Es fácil ver/probar que se trata de un subespacio lineal. Saber qué puntos puedes alcanzar también te dice cuáles no puedes alcanzar, por supuesto, y si puedes alcanzar todos los puntos o no.

Answer 5

El álgebra lineal no es una teoría sobre vectores, es una teoría sobre espacios.

En la teoría de conjuntos, se puede razonar sobre un conjunto $S$ representando elementos del mismo de forma simbólica, es decir, con variables $x, y, z,$ whathaveyou. Si estamos razonando sobre tres elementos a la vez, podemos pensar en esto como un sondeo $S$ con una función de un conjunto de tres elementos $\{ x,y,z \}$ a $S$ (es decir, una flecha $\{ x, y, z \} \rightarrow S$ ).

En el álgebra lineal, análogamente, se utiliza el espacio vectorial libre $F(\{ x,y,z \})$ en $\{ x,y,z \}$ que es como el espacio 3D estándar sobre el campo de escalares, para sondear un espacio vectorial V, mediante un mapa lineal $F(\{ x,y,z \}) \rightarrow V$ . En lugar de obtener un subconjunto de como máximo tres elementos de $S$ se obtiene un subespacio de dimensión 3 de V. Éste es la imagen del mapa lineal, y es el mismo que el ámbito de los valores de $x, y,$ y $z$ bajo el mapa.

La parte de "dimensión como máximo 3" es relevante para los mapas lineales en los gráficos. Si quieres asegurarte de que proyectas el contorno de un cubo en 2D para que puedas ver cada cara, lo que estás diciendo es que quieres que ninguna de las dos aristas dibujadas se superponga en un segmento de línea. Así, para cada punto del cubo, quieres que si tomas ese punto como origen para un espacio vectorial 2D, cada dos puntos conectados a él por una arista abarquen el plano. Incrustando el espacio 2D en el 3D como un plano desplazado desde el origen, puedes utilizar un span afín en lugar de un span lineal y una referencia a cada origen: Prueba a tomar el span afín de (1,0) y (0,1) en 2D, y luego su casco convexo. Estos tres tramos son operadores de cierre, y generalmente son útiles para resolver y problemas que tienen que ver con la disposición de las cosas de una manera determinada.

Pero algo que he tenido que dibujar es este sólido 3D que tiene un punto especial en el centro y radios que salen de él, y donde los puntos al final de los radios están todos distribuidos alrededor de la esfera unitaria alrededor del punto especial. Entonces, como puedes ver todos los puntos desde el centro, sólo tienes que comprobar que si tomas el centro como origen, puedes distinguir todos los puntos tal y como los ves en la esfera desde el origen. Por lo tanto, para tener una proyección 3D como ésta que mantenga todos los puntos y aristas separados, basta con que el tramo lineal de cada dos terminales de los radios sea 2D y no 1D. ¿Por qué decirlo así? Porque a veces tienes que mirar la forma antes de dibujarla, y si no puedes saber por el dibujo si los puntos son iguales, necesitas una forma de comprobarlo. Así que para este problema, el lapso lineal es una herramienta para el diseño de una proyección, y la descripción de una restricción en el programa de una manera que las mismas bibliotecas que probablemente está escribiendo el código del proyecto puede tratar.