¿Una posible caracterización del cubo?

Question

Dejemos que $P$ sea el $1$ -esqueleto de un poliedro convexo fijado en $\mathbb{R}^3$ , y $|P|$ la suma de las longitudes euclidianas de las aristas de $P$ . Sea $P_1, P_2, P_3$ sean las proyecciones perpendiculares de $P$ en los planos de coordenadas cartesianas, y $|P_i|$ la suma de las longitudes de los segmentos de $P_i$ .

Por ejemplo, en el caso del colocación de $P$ un tetraedro regular de longitud de arista unitaria que se muestra a continuación, $|P_1|+|P_2|+|P_3|$ es casi el doble $|P|=6$ :

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          $|P_1|$ (rojo) $=1+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{11}{3}}$ . $|P_2|$ (verde) $=1+\sqrt{3}$ . $|P_3|$ (azul) $=3+\sqrt{3}$ . $\Sigma \approx 11.2$ .

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Conjetura . Para cualquier colocación de cualquier poliedro convexo $P$ , $|P_1|+|P_2|+|P_3| \ge |P|$ con la igualdad lograda únicamente por el cubo.

Para un cubo de longitud de arista unitaria $P$ , $|P|=12$ y $|P_i|=4$ cuando se orienta para que cada proyección sea un cuadrado. Así que estoy conjeturando que el cubo oculta sus aristas en la proyección de forma más eficaz que cualquier otro poliedro convexo. ¿Puede alguien ver una prueba o un contraejemplo?

También me interesaría saber qué orientaciones del tetraedro regular minimizan $\Sigma |P_i|$ .

El análogo de mayor dimensión podría ser el tema de un futuro post.

Answer 1

Edición: esto no responde a la pregunta del OP, ya que considera $1$ -en lugar de las proyecciones $2$ -proyecciones dimensionales.

Para cada vector $(x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3$ tenemos $$ |x_1| + |x_2| + |x_3| \geq \sqrt{x_1^2+ x_2^2+x_3^2} $$ con desigualdad sólo para los múltiplos de los vectores base.

Sumando esta desigualdad sobre todas las aristas de $P$ produce que $|P_1|+|P_2|+|P_3| \geq |P|$ con desigualdad para los politopos cuyas aristas son paralelas a los vectores base, que son esencialmente cubos (hasta la dilatación en cada una de las tres direcciones).