Demuestra que $A= ([0,\sqrt2] \cap \Bbb Q ) \subset \Bbb Q $ no es compacto.

Question

Tenemos $\Bbb Q$ equipado con la métrica euclidiana.

Demuestra que $A=([0,\sqrt2] \cap \Bbb Q ) \subset \Bbb Q $ no es compacto.

¿Cómo se puede mostrar esto?

Puedes hacer en tapa abierta $\{O_n\}= ((-\infty, \sqrt2 -\frac1n) \cap \Bbb Q)$ pour $n\ge1$

$ A \subset {O_n}$

¿Cómo demostrarías que no hay una subcubierta finita?

Answer 1

Dejemos que $O_{n_1},\ldots,O_{n_k}$ sea una subcubierta finita, con $n_1<\cdots<n_k$ . Entonces $$\left(\sqrt2-\frac{1}{n_k},\sqrt2-\frac{1}{n_k+1}\right)\cap \mathbb Q$$ no está vacío y está contenido en $[0,\sqrt2]\cap \mathbb Q$ pero disjuntos de $O_{n_1}\cup\cdots\cup O_{n_k}$ Así que $[0,\sqrt2]\cap \mathbb Q\nsubseteq O_{n_1}\cup\cdots\cup O_{n_k}$ .