Demuestra que $A= ([0,\sqrt2] \cap \Bbb Q ) \subset \Bbb Q $ no es compacto.

Question

Tenemos $\Bbb Q$ equipado con la métrica euclidiana.

Demuestra que $A=([0,\sqrt2] \cap \Bbb Q ) \subset \Bbb Q $ no es compacto.

¿Cómo se puede mostrar esto?

Puedes hacer en tapa abierta $\{O_n\}= ((-\infty, \sqrt2 -\frac1n) \cap \Bbb Q)$ pour $n\ge1$

$ A \subset {O_n}$

¿Cómo demostrarías que no hay una subcubierta finita?

Answer 1

Una pista:

¿Qué se puede decir de la secuencia (y sus subsecuencias)

$$\left\{\left(1-\frac1n\right)^n\right\}_{n\in\Bbb N}\subset A\;\;?$$

Answer 2

Supongamos que existe una subcubierta finita. Entonces $A \subset (-\infty, \sqrt2 -\frac1n) \cap \mathbb{Q}$ para algunos $n$ . Sin embargo, $[\sqrt2 -\frac1n, \sqrt{2} ] \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset$ lo que contradice la definición de $A$ .

Answer 3

No estoy seguro de si ya sabes que las imágenes de los espacios compactos bajo mapas continuos son compactas, pero en caso de que lo sepas, este criterio puede ser a veces más fácil de usar que llegar a las cubiertas abiertas. En particular, cualquier función continua sobre un compacto alcanza sus valores extremos. Sea $X := \mathbb Q\cap[0,\sqrt2]$ y definir $\iota:X\to \mathbb R$ sea el mapa de incrustación. Es evidente que es continuo y claramente $\sup_{x\in X}\iota(x) = \sqrt 2$ Sin embargo, para no $x\in X$ sostiene que $\iota(x) = \sqrt2$ Así que $X$ no es compacto.

Tal vez, en la situación actual no es muy diferente de otras soluciones proporcionadas, sin embargo creo que este truco es sólo vale la pena tener en cuenta para los futuros problemas en la topología.

Answer 4

No es compacto secuencial por lo tanto no es compacto

$x_n={[\sqrt{2}n]\over n}\in [0,\sqrt{2}]\cap\mathbb{Q},x_n\to\sqrt{2}\notin [0,\sqrt{2}]\cap\mathbb{Q}$

Answer 5

Si un subconjunto $A$ de $\mathbb R$ es compacto, entonces también es cerrado. En particular, si una secuencia $\{x_n\}_{n\in}\subset A$ converge a $x$ entonces $x\in A$ . Sea \begin{align} x_1=&1\\ x_2=&1.4 \\ x_3=&1.41 \\ x_4=&1.414 \\ x_5=&1.4142 \\ etc. \end{align} Es decir, $$ x_n=\frac{\lfloor10^n\sqrt{2}\rfloor}{10^n}, $$ Claramente $x_n\to\sqrt{2}$ , como $|x_n-\sqrt{2}|<10^{-n}$ y $\sqrt{2}\not\in A$ . Por lo tanto, $A$ no es compacto.