Consideremos un grafo no dirigido $G$ con $N$ vértices y su matriz de adyacencia $n_{ij}$ : $n_{ij} = 1$ si los vértices $i$ y $j$ están conectadas por una arista y $n_{ij} = 0$ de lo contrario. Considere $A_{ij} \equiv \left(\sum_{k=1}^N n_{ik}\right)\delta_{ij} - n_{ij}$ y su descomposición en LDL \begin{equation} A = L D L^T, \end{equation} donde $L$ es triangular inferior con la unidad en la diagonal, y $D$ es diagonal.
Supongamos ahora que $G$ está conectado: Entonces se puede demostrar que $A$ sólo tiene un valor propio cero, que denotamos por $\lambda_1$ y que sólo hay una entrada diagonal cero en $D$ que denotamos por $D_{11}$ . Al diagonalizar $A$ numéricamente para múltiples $G$ s, encuentro heurísticamente que la siguiente ecuación \begin{equation} \prod_{i=2}^N \lambda_i = N \prod_{i=2}^N D_i \end{equation} está numéricamente satisfecha.
¿Esta ecuación es cierta en general? Si lo es, ¿tienes alguna idea de cómo demostrarla?
Gracias
