¿Por qué los cierres algebraicos?

Question

Permítanme comenzar resumiendo la cuestión:

¿Por qué nos preocupan los campos cerrados bajo exponenciación racional y menos los campos cerrados bajo otras operaciones?

Históricamente, la solución de los polinomios era importante, y la gente intentaba encontrar una buena manera de comprobar cuándo un determinado polinomio tiene una raíz. Esto llevó a hablar de campos algebraicamente cerrados, donde los polinomios tienen raíces. A partir de ahora me centraré especialmente en los racionales.

¿Cómo se construyen los números racionales? Comenzamos con $\{0,1\}$ y decimos que si añadimos $1+1+\ldots+1$ nunca hemos $0$ . Comenzamos cerrando este conjunto bajo la suma, luego bajo la resta y luego bajo la división.

Sin embargo podemos considerar la alternativa, iteramos desde $\{0,1\}$ y en cada paso sumamos soluciones las cuatro operaciones sobre los elementos que tenemos hasta el momento, por lo que la construcción iría como

1. $\{0,1\}$ comenzamos. A continuación añadimos el inverso aditivo, un término para $1+1$ y la inversa multiplicativa para $1$ :
2. $\{-1,0,1,2\}$ . Ahora añadimos la inversa aditiva para $2$ La adición de $1+2$ y la inversa multiplicativa para $2$ :
3. $\{-2,-1,0,\frac12,1,2,3\}$ . Ahora añadimos las sumas posibles con los elementos que tenemos hasta ahora, los inversos que faltan, etc:
4. $\{-3,-2,-1\frac12,-1,-\frac12,0,\frac14,\frac13,\frac12,1,1\frac12,2\frac12,3,3\frac12,4,5\}$ . Seguimos ad infinitum.

No es muy difícil ver que cualquier número racional está en este conjunto, y que este conjunto forma un campo (efectivamente los racionales).

Consideremos ahora la familia de operaciones $\exp_q(x)=x^q$ definido para $x\geq 0$ y para un número racional $q$ . Si reiteramos el algoritmo anterior de $\mathbb Q$ y cerrarlo en $\exp_q(x)$ para que sea positivo $q$ terminamos con un subcampo del recinto real de $\mathbb Q$ . El resultado, aunque no son todos los números algebraicos reales, es radicalmente cerrado. Cualquier número del campo tiene una raíz de cualquier orden racional. Si sólo tomamos el cierre bajo una colección limitada $\exp_q$ obtendremos un subcampo de este campo (por ejemplo, cerrar sólo bajo $\exp_{0.5}$ ).

Consideremos ahora el Seno-cerrado de $\mathbb Q$ :

1. $Q_0=\mathbb Q$ Empezamos con los racionales.
2. $Q_1=Q_0\cup\{\sin(x)\mid x\in Q_0\}$ los racionales se cerraron bajo las operaciones de campo, por lo que sólo tenemos que añadir $\sin$ 's.
3. $Q_2$ es la colección de todas las sumas y multiplicaciones de pares de $Q_1$ sumando los inversos aditivos y multiplicativos, y sumando $\sin(x)$ pour $x\in Q_1$ .
4. $Q_3$ construidos de la misma manera.

Terminamos tomando $\mathbb Q_{\sin}=\bigcup_{n=0}^\infty Q_n$ . Se trata de un campo que se extiende $\mathbb Q$ y se cierra bajo la función $\sin$ . Este campo contiene elementos trascendentales y es contable, por lo que es un subcampo no algebraico de $\mathbb R$ .

Entonces, ¿por qué estamos interesados sobre todo en campos algebraicamente cerrados, y no en campos como el Seno-cerrado de $\mathbb Q$ (o quizás otra construcción similar a ésta)?

¿Es la razón histórica, es porque el álgebra y el análisis son algo disjuntos en sus propósitos y el análisis toma $\mathbb{R,C}$ ¿para empezar?

Answer 1

Hoy en día son interesados en estos sistemas numéricos. De hecho, en cualquier sistema de matemática simbólica que maneje el cálculo (por ejemplo, Macsyma, Maple, Mathematica), uno se ve obligado a interesarse por sistemas generales de "números elementales" cerrados bajo operaciones "elementales", por ejemplo, véase el artículo mensual de Chow ¿Qué es un número de forma cerrada? Pero tales trascendental la teoría de los números es mucho más difícil que algebraico la teoría de los números. Hay muchos problemas abiertos sin resolución a la vista, por ejemplo Conjetura de Schanuel. En las últimas décadas se han realizado muchos e interesantes trabajos de teoría de modelos sobre estos temas, por ejemplo, véase el trabajo de Daniel Richardson y Lou van den Dries para obtener un punto de entrada en esta literatura, y véase el bibliografía sobre cálculo matemático simbólico para los algoritmos y la heurística.

Answer 2

Por lo que veo, el primer campo que has construido no son los números reales algebraicos; sólo obtienes números reales algebraicos cuyo polinomio mínimo tiene grupo de Galois resoluble (y ni siquiera obtienes todos esos, por ejemplo, por casus irreducibilis ).

De todos modos, ¡tratar con números trascendentales es difícil! Que yo sepa, no hay ningún algoritmo para decidir la igualdad de los elementos de su campo (no sé si esto está abierto o se sabe que es indecidible). Decidir la igualdad de los números algebraicos, en cambio, es sencillo: calcula los polinomios mínimos, y luego calcula los dos números que te interesan con una precisión suficientemente alta hasta que sus dígitos empiecen a no coincidir.

También se puede hablar mucho de números algebraicos, y esto ya es suficiente para muchas aplicaciones (por ejemplo, los cierres algebraicos bastan para darnos los valores propios de los operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita). También se puede hablar del cierre algebraico de forma muy general de cualquier campo, mientras que operaciones como $\sin x$ son específicos de la característica $0$ y requieren la existencia de una topología relativa a la cual la serie definitoria converge.

Los objetos naturales que aparecen en las matemáticas se cierran bajo muchas operaciones como $\sin x$ no suelen ser campos (aunque los teóricos del modelo están interesados en campos exponenciales ), sino cosas como el álgebra suave $C^{\infty}(M)$ de funciones suaves en una variedad suave $M$ o Álgebras de Banach . La palabra clave aquí es "cálculo funcional", como en cálculo funcional holomórfico .