¿A qué tipo de cuestiones topológicas responde la topología algebraica cuando la topología de conjuntos de puntos no es suficiente?
Dicho de otra manera:
¿Dónde está la línea (o quizás la intersección) entre la topología de conjuntos de puntos y la topología algebraica? ¿Cuál es la distinción entre los problemas que trata cada una?
Quiero entender la motivación para introducir la maquinaria algebraica en la topología.
La mejor justificación elemental de la topología algebraica es que proporciona una forma de demostrar rigurosamente cuándo algunos espacios no son homeomorfos. Es intuitivamente obvio, por ejemplo, que la esfera bidimensional $S^2$ y el toroide $T^2$ son espacios muy diferentes. Pero para demostrar realmente desde cero que cada mapa $S^2\to T^2$ no es biyectiva o tiene una inversa discontinua es desalentador. En cambio, en cuanto se conocen los primeros datos de la teoría de la homología o del grupo fundamental, se puede escribir una demostración en un par de líneas.
Una motivación algo más sofisticada es que la topología algebraica dispone de las mejores herramientas para dar sentido a las cuestiones que son invariantes hasta la homotopía, es decir, qué espacios son equivalentes en homotopía. El grupo fundamental (y los grupos de homotopía superiores) y la teoría (co)homológica (teorías) son tan buenos para distinguir los espacios no equivalentes a la homotopía como los no homomórficos, lo que a primera vista es aún más difícil de hacer. Ahora bien, te darás cuenta de que no he dicho nada sobre demostrar que los espacios son homeomórficos, o equivalentes homotópicos. Lo primero es imposible en general más allá de, por ejemplo, las variedades bidimensionales. Pero lo segundo es posible, al menos en teoría, para un tipo de espacio llamado complejo CW, que es el favorito de los topólogos algebraicos.
La cuestión, en general, es que la topología algebraica proporciona invariantes discretos que son material más tangible para escribir pruebas rigurosas que la motivación puramente topológica de una idea: es mucho más difícil comprender completamente un espacio, especialmente con palabras, que un grupo asociado a ese espacio. Esto refleja el patrón común de que el álgebra es más verbal y la geometría más visual.
No puedo comentar muy bien la línea divisoria entre la topología general y la topología algebraica, porque no sé nada en absoluto sobre la investigación topológica moderna que no sea ni algebraica ni geométrica (es decir, sobre los colectores).
Para "entender la motivación de la introducción de la maquinaria algebraica en la topología" hay que remontarse a la historia del tema, y cómo se desarrolló a partir de problemas del análisis complejo, como también lo hizo la topología general. Si puedes conseguirlo, te recomiendo "History of Topology", editado por I M James, Noth Holland, 1999, en particular como inicio los artículos de S. Lefschetz sobre "The early development of algebraic topology" y de I M James sobre "From combinatorial topology to algebraic topology". También recomiendo la introducción a la "Introducción a la topología" de Lefschetz (pero no el resto del libro, que muchos encuentran confuso). No hay que pensar que la topología general surgió primero, sino que se desarrollaron juntas.
Un problema de los primeros trabajos fue definir con precisión los "límites" y los "ciclos", para obtener la regla "todo límite es un ciclo"; ésta es la regla $\partial \partial =0$ . Fue Poincar'e quien desarrolló el excelente truco de tomar sumas formales de símiles orientados en un complejo simplicial. Fue mucho más tarde cuando Eilenberg introdujo el simplex ordenado y la regla que conocemos y amamos $$ \partial = \sum_{i=1}^n (-1)^i \partial _i .$$ De hecho, la idea de tomar "sumas formales" deriva de la integración sobre varios dominios, es decir, de escribir por conveniencia $$\int_{C} f + \int_D f = \int_{C +D} f .$$ La historia es complicada y con muchos giros, y no hay que pensar que la historia del desarrollo conceptual ha terminado. Sí estoy de acuerdo en que la pregunta es buena, ya que las intuiciones de las generaciones anteriores pueden no haberse expresado plenamente en las formulaciones actuales. Por ejemplo, la visión de los topólogos de principios del siglo XIX de versiones no abelianas de mayor dimensión del grupo fundamental fue descartada a partir de los años 30, esencialmente por el llamado argumento de Eckmann-Hilton, que mostraba que los "grupos dobles" son sólo grupos abelianos. Sin embargo, resulta que los "grupos dobles" son más complicado que los grupos, ¡y esta idea tiene un largo camino por recorrer!
Menciono que la palabra "groupoide" no aparece en el libro de James.
14 de enero de 2017 Hay más debate en este preimpreso .
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