Múltiples complejas en las que el mapa exponencial es holomorfo

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad compleja y $g$ una métrica hermitiana en $X$ . Consideremos la exponencial de Riemann $\exp_p: T_p X \to X$ .
Si $\exp_p$ es holomorfo para cada $p \in X$ entonces $(\exp_p)^{-1}$ , convenientemente restringidas, proporcionan coordenadas normales holomorfas cerca de $p$ con respecto a la cual la métrica oscula de orden 2 a la métrica estándar en el origen. Esto demuestra que $g$ es una métrica de Kähler.

Sin embargo, Kähler no es suficiente para garantizar que $\exp_p$ es holomorfo: toma $X$ una curva de género $g \geq 2$ . Si $\exp_p:T_pX \to X$ es holomorfo, entonces se eleva a un mapa holomorfo de $T_pX$ a la cubierta universal $\widetilde{X} = \Delta$ , dando un mapa holomorfo $T_pX \simeq \mathbb{C} \to \Delta$ que debe ser constante por el teorema de Liouville. De hecho, se puede ver que $\exp$ no puede ser holomorfo si $X$ es hiperbólica de Kobayashi.

Esto deja la pregunta: ¿Cuáles son las variedades/métricas hermitianas cuyo mapa exponencial es holomorfo?

Answer 1

NB: He tenido un poco de tiempo para pensar en esto y ahora puedo mejorar mi respuesta, en particular, eliminando la suposición real-analítica, que, como sospechaba, no era necesaria. Aquí está la respuesta mejorada:

Si la métrica $g$ es Kähler, entonces teniendo el mapa exponencial de un punto $p\in M$ sea holomórfico lo hace plano en una vecindad de $p$ .

Supongamos que $\exp_p:T_pM\to M$ es holomorfo cerca de $0_p\in T_pM$ (donde utilizamos la estructura holomórfica natural en el espacio vectorial complejo $T_pM$ ). Sea $z:T_pM\to\mathbb{C}^n$ sea una isometría lineal compleja, de modo que la métrica hermitiana sobre $T_pM$ es sólo $|z|^2$ en el sentido habitual. Sea $Z$ sea el campo vectorial "radial" holomorfo en $\mathbb{C}^n$ cuya parte real es el campo vectorial radial estándar en $\mathbb{C}^n$ .

Entonces $$ {\exp_p}^*g = g_{i\bar j}(z)\ dz^i\ d\overline{z}^j $$ para algunas funciones $g_{i\bar j}$ en una zona de $0\in\mathbb{C}^n$ . Desde $g$ es Kähler, existe una función $f$ definido en una vecindad de $0\in\mathbb{C}^n$ tal que $$ g_{i\bar j} = \frac{\partial^2f}{\partial z^i\ \partial\overline{z}^j}. $$

Ahora, la condición de que $z$ proporcionar las coordenadas normales de Gauss para ${\exp_p}^*g$ se ve fácilmente que
$$ \mathcal{L}_Z\bigl(\bar\partial f\bigr) = \bar\partial\bigl(|z|^2\bigr). $$ En particular, $ \bar\partial\bigl(\mathcal{L}_Z(f - |z|^2)\bigr) = 0$ , así que $\mathcal{L}_Z(f - |z|^2) = h$ para alguna función holomórfica $h$ en una zona de $0$ . Este $h$ debe desaparecer en $0$ por lo que es fácil, añadiendo la parte real de la función holomórfica apropiada a $f$ (que no cambiará $g$ ) para disponer que $h\equiv0$ y, además, que $f(0) = 0$ . Pero esto implica ahora que la función de valor real $f-|z|^2$ desaparece en el origen y también es constante a lo largo del campo vectorial radial. Por lo tanto, $f = |z|^2$ y la métrica $g$ es plana en estas coordenadas.

Answer 2

No me gustan los números complejos y puedo equivocarme fácilmente...

Dejemos que $L_p$ sea una línea compleja en un espacio tangente $T_pX$ . Es fácil ver que $\exp_p$ da una incrustación isométrica $L_p\hookrightarrow X$ que también tiene forma de estrella con centro en $p$ ; set $L=\exp_p(L_p)$

Tome cualquier otro punto $q\in L$ y que $L_q\subset T_q$ sea el subespacio tangente a $L$ . Tenga en cuenta que los mapas $\exp_p$ y $\exp_q$ coexisten (hasta un desplazamiento) en la geodésica $(pq)$ . [Aquí utilizo que si dos mapas holomorfos coinciden en la recta real entonces coinciden en el plano complejo]. Se deduce que $L=\exp_q(L_q)$ . Por lo tanto, $L$ es totalmente geodésico.

En otras palabras: Para cualquier dirección seccional compleja en $X$ , existe una superficie tangente totalmente geodésica que es isométrica al plano complejo.

En particular, la curvatura seccional en todas las direcciones seccionales complejas es cero y por lo que la curvatura de $X$ es idéntico a cero ; la posterior en Kobayashi--Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 2 IX, Prop. 7.1. (gracias a RdN).