Es bien sabido que la media aritmética y la geométrica están fuertemente relacionadas a través de la transformación logarítmica, es decir, si tomamos la media aritmética de los valores transformados logarítmicamente obtenemos lo mismo que si tomamos el logaritmo de su media geométrica. Con la fórmula: $$\frac{\ln(x_1)+\cdots +\ln(x_n)}{n}=\ln \big( (x_1\cdots x_n)^{(1/n)} \big)$$ para todos los números positivos $x_1, \ldots ,x_n$ .
También se sabe que tanto la media geométrica como la aritmética pertenecen a la misma familia de la media de las potencias (media generalizada) $$M_{\alpha}(x_1, \ldots ,x_n) = \Big( \frac{x_1^\alpha + \cdots + x_n^\alpha}{n} \Big)^{\frac{1}{\alpha}} $$ con $\alpha =1$ que representa la media aritmética y $\alpha=0$ (en el límite) que representa la media geométrica.
Utilizando esta notación podemos decir que $M_1\circ \ln = \ln \circ M_0$ donde $\circ$ representa la composición de funciones.
Mi pregunta es la generalización del caso anterior. Digamos que elegimos dos números reales $\alpha$ y $\beta$ y nos interesa la función $f$ para lo cual $M_\alpha\circ f = f \circ M_\beta$ . ¿Existe dicha función de transformación, es única (hasta alguna restricción)?
