¿Qué elementos de un grupo tienen igual centralizador?

Question

Podemos decir que los elementos que tienen centralizadores iguales son los elementos que están en el mismo coset de $G/Z(G)$ ? Quiero decir que si $C_G(x)=C_G(y)$ entonces $x=yz$ donde $z\in Z(G)$ o $x=y^{-1}$ . ¿Hay otros elementos del grupo que tengan igual centralizador?

Answer 1

Si el centralizador de $x$ es normal, entonces los demás elementos de la misma clase de conjugación que $x$ tendrán el mismo centralizador. Se puede probar esto a mano, pero es más fácil de ver con las acciones de grupo.

Answer 2

¿Qué es el centralizador de $(1,2,3)$ en $S_5$ ? ¿Se te ocurren otros elementos con el mismo centralizador? ¿Cuál es el centro de $S_5$ ?

Answer 3

El centralizador de un subconjunto sólo depende del subgrupo generado por ese subconjunto. Así, si $n$ es coprima de $|x|$ entonces $C_G(x) = C_G(x^n)$ .

De manera más general, $C(x) = C(y)$ si $C(C(x)) = C(C(y))$ si $x$ y $y$ están en el mismo coset de $C(C(x)) \cap C(C(y))$ es decir $x^{-1}y \in C(C(x)) \cap C(C(y))$ . Es una pregunta interesante (aunque no muy teórica de grupo) cuando $C(H) = C(K)$ para dos subgrupos $H$ y $K$ .

Answer 4

Si $C_G(x)=C_G(y)$ entonces para cualquier elemento $a\in H$ ,

$C_G(x)\leq C_G(a)$ donde $H=<x,y>$ es el subgrupo generado $x$ y $y$

y como resultado $C_G(x)=C_G(H)$ como $ C_G(H)=\bigcap C_G(a)$ .

prueba: Dejemos que $a\in H$ entonces $a=x^{r_1}y^{k_1}...x^{r_n}y^{k_n}$ y $m\in C_G(x)$ .

Entonces, claramente $mx^{r_i}m^{-1}=x^{r_i}$ y $my^{k_i}m^{-1}=y^{r_i}$ ,

$$mam^{-1}=mx^{r_1}y^{k_1}...x^{r_n}y^{k_n}m^{-1}$$ $$mam^{-1}=mx^{r_1}m^{-1}my^{k_1}m^{-1}...m^{-1}mx^{r_n}y^{k_n}m^{-1}$$ $$ =x^{r_1}y^{k_1}...x^{r_n}y^{k_n}=a$$

Así que $m\in C_G(a)$ así que $C_G(H)=C_G(x)$ .