¿De qué manera la intuición física sobre los objetos matemáticos no es rigurosa?

Question

Hago esta pregunta como matemático que está muy alejado del mundo de la Física, y que tiene poco o ningún conocimiento de lo que es la matemática y lo que sale de ella. Lo que sí oigo es que la gente tiene "intuiciones físicas" sobre los objetos matemáticos (especialmente en geometría algebraica), y que luego intentan demostrarlo matemáticamente.

Así que, por curiosidad, mi pregunta es la siguiente. Qué combinación de las siguientes es verdadera para que la "intuición física" no sea ya rigurosa:

1. Asumen la existencia de objetos que no construyen.

2. Su lógica es errónea.

3. Experimentan (con partículas y demás) y asumen que si funciona suficientes veces entonces es verdad.

4. Asumen que las conjeturas matemáticas "razonables" son ciertas sin molestarse en estar seguros.

5. No tienen definiciones axiomatizadas y se basan en nociones vagas.

Answer 1

Las matemáticas son prácticamente la única profesión que se permite el lujo de insistir en una certeza cercana al 100%. En física, siempre se hacen aproximaciones y suposiciones idealizadas, e incluso las leyes físicas conocidas pueden ser sólo aproximaciones de un conjunto de leyes más precisas. En este contexto, es mucho más eficiente confiar en una heurística que sea precisa el 99% de las veces, que insistir en una prueba rigurosa que sea correcta el 100% de las veces. (En principio, incluso un argumento matemáticamente riguroso podría someterse al escrutinio de los lógicos y filósofos, pero sigue siendo un estándar mucho más estricto que el necesario para un argumento físicamente convincente).

Un ejemplo típico de heurística es el siguiente: si un sistema dinámico no tiene leyes de conservación obvias u otra estructura que restrinja la dinámica, entonces es probable que se esté mezclando. Con esta heurística se puede hacer una gran cantidad de mecánica estadística; pero es completamente no rigurosa. Y de hecho, la teoría rigurosa de la mecánica estadística está muy por detrás de la teoría heurística, y por tanto es mucho menos útil para la física. En física, no pasa nada si el demonio de Maxwell (o algún otro alborotador) interviene para arruinarlo todo $10^{-100}$ del tiempo; pero esto es inaceptable según los estándares de las matemáticas rigurosas.

Un ejemplo matemático de la heurística anterior en acción sería la afirmación de que los dígitos de pi están distribuidos uniformemente porque no hay ninguna razón obvia para que no lo estén. Esto es extremadamente convincente a nivel heurístico, pero se queda muy lejos de una prueba rigurosa, que sigue estando completamente fuera del alcance de los métodos conocidos (no podemos descartar la extraña posibilidad de que pi tenga adosado su propio "demonio de Maxwell").

Sin embargo, hay que tener en cuenta que este tipo de heurística se utiliza de forma rutinaria en ciertas áreas de las matemáticas, como la criptografía; y a la inversa, hay muchos físicos que trabajan en matemáticas rigurosas; y hay personas que se clasificarían a sí mismas como matemáticos y físicos, o que hacen una mezcla de trabajo riguroso y heurístico. Por lo tanto, la distinción no es tan nítida si se observa con detenimiento.

Answer 2

Tal y como yo lo veo, la situación es una combinación de todas las razones enumeradas, pero yo enmarcaría las cuestiones de forma diferente:

1. Hay muchas derivaciones y temas en física que son totalmente rigurosos en principio, pero en los que los físicos no consideran que merezca la pena detenerse en las cuestiones de rigor. Por ejemplo, ¿qué es una "función delta de Dirac"? En realidad no es una función, sino un vector dual en el espacio de las funciones continuas, pero esta distinción no suele ser importante en una discusión de física. Esta situación es simplemente una cuestión de división del trabajo entre matemáticos y físicos.

2. Muchas derivaciones en física implican aproximaciones ad hoc cuya fuerza no se entiende bien. Las ecuaciones finales que se resuelven suelen ser totalmente rigurosas, pero su relevancia para la realidad física es negociable. Por ejemplo, en astronomía, ¿cuándo es justo aproximar los planetas como puntos o esferas? O por elegir un ejemplo más serio, las ecuaciones de aguas poco profundas son una simplificación ad hoc de las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto también es una división del trabajo, pero más problemática que en el caso 1. Una mejor justificación de estas aproximaciones ad hoc podría ser ciertamente valiosa en física, y algunas de ellas son también interesantes conjeturas matemáticas.

3. La teoría cuántica de campos es un caso especial. Hay pruebas muy sólidas de que la teoría cuántica de campos, tal y como la entienden métodos como los diagramas de Feynman, pero también nuevos métodos, es una isla de comprobaciones de consistencia matemática que, idealmente, estaría conectada a la matemática rigurosa ordinaria. Los métodos de la teoría cuántica de campos pueden utilizarse para muchas "teorías" que parecen importantes para las matemáticas puras. Muchas de estas teorías sólo tienen un parecido abstracto con las verdaderas teorías de campos cuánticos de la física y no se pueden comprobar con experimentos. En cambio, satisfacen una amplia gama de comprobaciones de consistencia y conducen a muchas conjeturas interesantes. Por otro lado, algunas de estas teorías son realistas y sí coinciden con los experimentos. No hay una buena división del trabajo para explicar por qué la teoría cuántica de campos no es rigurosa. Es una asignatura pendiente para matemáticos y físicos.

   Por otro lado, el estado matemático de la teoría cuántica de campos ha mejorado al menos con el tiempo. La teoría cuántica de campos en una dimensión es rigurosa, y piezas significativas de la teoría de campos conformes en dos dimensiones (o en una dimensión compleja) son rigurosas.

4. También hay algunos no ejemplos que son totalmente rigurosos pero difíciles de creer. La relatividad es difícil de creer y la mecánica cuántica (en el sentido de la probabilidad cuántica) es difícil de creer, pero son totalmente rigurosas. Ni siquiera se sabe que sean aproximaciones ad hoc a otra cosa. (Bueno, la relatividad general no cuántica es seguramente una aproximación a alguna teoría de la gravedad cuántica, pero dejemos eso de lado por ahora). A veces se explican de forma no rigurosa, como en el caso 1, pero eso no debería engañar a los matemáticos. Es importante no confundir estas victorias rigurosas con extensiones no rigurosas como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. De hecho, la enfermedad del caso 3 no requiere estrictamente la cuántica; algunas de las dificultades de rigor ya se dan en las teorías de campo estocásticas clásicas.

Answer 3

Independientemente de si es posible o no hacer rigurosos los argumentos específicos de la física, a menudo no se enseñan con rigor. Daré algunos datos concretos de mi propia educación.

Un ejemplo obvio es considerar el contenido de un curso básico de mecánica cuántica. Un curso puede empezar considerando las funciones de onda. Se afirma que éstas son funciones $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{C}$ sin molestarse en indicar con precisión qué funciones están permitidas. ¿Es necesario que sean continuas, diferenciables, suaves, que se comporten de una manera determinada al ir al infinito? En un curso elemental, nadie se molestará en decirlo.

Se nos enseñará que las funciones de onda son soluciones de EDP. Así que implícitamente tenemos que empezar a asumir la diferenciabilidad en un grado u otro. Excepto que se nos pedirá que consideremos pozos de potencial que dan lugar a funciones de onda que ocasionalmente tienen derivadas discontinuas. Y entonces se nos pedirá que consideremos funciones de onda que son funciones delta de Dirac, que claramente no son funciones en el sentido habitual. Si te opones, el profesor murmurará algo sobre los espacios de Hilbert en voz baja, a pesar de que es trivial demostrar que se nos pide que consideremos espacios de funciones de onda que no forman un espacio de Hilbert.

Este tipo de mecánica cuántica elemental puede hacerse rigurosa. Pero no forma parte de la formación de muchos físicos. Y esto significa que los argumentos reales de los físicos a menudo no son rigurosos, incluso cuando no hay ningún problema fundamental para hacerlos rigurosos.

(Y mucho de esto suena a queja. Pero la verdad es que, cuando hacía física, no hubiera querido "perder" el tiempo en hacer rigurosos estos argumentos).

Answer 4

Creo que algunas de las cosas que se han dicho son un poco engañosas. Mucha gente ha dado a entender que, como los físicos tienen la capacidad de basarse en experimentos, no tienen que preocuparse tanto por las pruebas formales. Pero esto no es realmente correcto, y aunque en última instancia si una teoría particular es "correcta" o no depende de esto, la intuición física todavía puede conducir a buenas ideas y buenas matemáticas, incluso si conduce a ideas empíricamente incorrectas (de hecho, muchos buenos físicos teóricos se preocupan tan poco por los experimentos como por las pruebas). De hecho, la historia de la física está llena de "reciclaje" de buenas ideas de lugares donde no funcionaban, a nuevos lugares donde sí lo hacen. Estas ideas son tan reutilizables no porque se basaran en experimentos, sino porque el tipo de razonamiento que las sustentaba era cualitativamente bueno, aunque no acabara siendo cuantitativamente bueno (¡compárese con casos similares en matemáticas!).

Soy un físico teórico, pero tengo una licenciatura en matemáticas, y eso me ha hecho pensar mucho en cómo difiere exactamente mi pensamiento en mi formación en física de mi pensamiento en mi formación en matemáticas. Y realmente creo que el tipo de pensamiento cualitativo que veo que utilizan muchos matemáticos para razonar antes de construir un argumento formal es casi exactamente el tipo de pensamiento que utilizan los físicos.

Sé que una de las cosas que me hizo darme cuenta por primera vez de esto, fue hace unos años, al leer una entrada del blog de Terry Tao. El post trataba sobre algún tema de análisis con el que no estaba familiarizado (que ya no recuerdo específicamente) y me había parado a pensar detenidamente en lo que decía durante unos minutos después de ver una afirmación confusa, y traté de razonar usando mi intuición de físico. Después de hacerme una idea de lo que estaba pasando, terminé de leer el artículo y, tras terminarlo, me di cuenta de que la lógica que había detrás del artículo en su conjunto (en contraposición a la que había detrás de cada afirmación individual) era básicamente idéntica a la que tenía mi explicación de la física.

En cuanto a los puntos que mencionas arriba, la "intuición física" correspondería aproximadamente a 1, 5 y, en menor medida, 4. Pero esto (desde mi punto de vista) parece corresponder bastante bien a cómo piensan exactamente los matemáticos, tanto antes de formalizar un argumento cuidadosamente, como en el punto de vista de la "visión general" (que en realidad es en parte heredado de la primera).

Así que, en cierto sentido, la intuición física es todo lo que se hace en matemáticas, hasta, pero sin incluir, el paso final cuando se hacen los argumentos con cuidado. Aunque solemos recorrer "la mayor parte" del camino hasta hacer un argumento cuidadoso, en última instancia tenemos que llevar las cosas al nivel de poder hacer un cálculo que se pueda comparar con el experimento, y esto requiere ser bastante cuidadoso con que el razonamiento que usemos sea matemáticamente sensato (aunque, desde el punto de vista de la mayoría de los teóricos, esta no es la parte interesante).

También nos gusta dividir nuestros argumentos en piezas "fundamentales", pero no de la misma manera que los matemáticos, en términos de axiomas/definiciones/teoremas/lemas, sino en términos de piezas "físicamente razonables", ya que son más fáciles de manejar en términos de construcción de teoría. Pero el problema es que, aunque estas piezas físicamente razonables suelen corresponder a enunciados físicos sencillos, suelen corresponder a enunciados muy complicados cuando se enuncian axiomáticamente, lo que hace que esa forma de ellos sea demasiado engorrosa para trabajar.

Es difícil explicar específicamente cuáles son las similitudes en las que estoy pensando, así que si quieres ver algunos ejemplos específicos, que serían más amistosos desde el punto de vista de un matemático, podría ser valioso coger un texto sobre el cálculo de variaciones y repasar algunas de las pruebas de cosas que ya conoces por otros medios (por ejemplo, las geodésicas), ya que este es específicamente un tipo de razonamiento que se utiliza en toda la física. También hay varios libros de este tipo escritos desde el punto de vista de la resolución de problemas de física.

También existe "campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos", que es un poco más duro, pero está escrito por físicos de verdad, y creo que podría dar una buena visión de cómo pensamos realmente. Yo evitaría todo lo que se llama "mecánica cuántica para matemáticos" porque tienden a no estar escritos por personas que son principalmente físicos.

También se podría volver a Euler o Gauss o Riemann, ya que muchos de sus argumentos son muy "físicos" y son muy reconocibles para los físicos. Creo que los volúmenes de Spivak sobre geometría diferencial contienen algunos de los trabajos de Riemann, junto con una discusión que los traduce al lenguaje moderno y que podría ser útil ver. La MAA también tiene una columna de "cómo lo hizo Euler" que podría ser interesante en este sentido, también.

Answer 5

Una vez estuve conversando con John Polkinghorne, un físico matemático representativo que trabaja en la teoría cuántica de campos. Me dijo que no veía por qué importaban las pruebas. Así que le decía "de cualquier manera que riguroso se define a través de una prueba formal, eso es algo que los físicos no hacen". Ciertamente, las exposiciones de la física incluyen tipos de arranque a partir de simples suposiciones por analogía, "pruebas" por autoconsistencia aparente y abuso de la notación.