Mostrar dimV a partir de la existencia de valores propios

Question

Lo siguiente es de un antiguo examen.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial, y $T:V\rightarrow V$ un lineal transformación que no es diagonalizable .

Demuestre que si $1$ y $2$ son valores propios de $T$ entonces $dimV>2$ .

No entiendo la respuesta dada. Hay un teorema en nuestro libro que dice que:

Si $\lambda_1,\dots ,\lambda_k$ son valores propios distintos de un de una transformación lineal $T$ y si $v_1,\dots ,v_k$ son sus correspondientes vectores propios, entonces $v_1,\dots ,v_k$ son linealmente independientes.

La respuesta se refiere entonces al teorema anterior y concluye que hay al menos 2 vectores propios linealmente independientes y por tanto $dimV\geq 2$ .

¿De dónde concluyen que hay 2 vectores propios linealmente independientes? Que yo sepa hay un teorema que dice que la multiplicidad geométrica es siempre menor o igual que la multiplicidad algebraica, pero no conozco nada que diga que la multiplicidad geométrica es siempre al menos 1 ( ya que eso no es cierto).

Lo único que se me ocurre es que la existencia de dos valores propios distintos distintos de cero podría implicar $dimN(A-\lambda I)\geq1$ para cada $\lambda_i$ .

Pero claro, la cuestión es que no dicen nada de ese tema y no entiendo cómo ellos concluir que hay al menos dos vectores propios linealmente independientes.

Answer 1

Pero la multiplicidad geométrica es al menos uno. Eso es lo que significa ser un valor propio. Cuando encuentras los valores propios, estás encontrando los valores tales que $A-\lambda I$ es singular, lo que significa que por definición cada valor propio tiene al menos un espacio propio unidimensional.

Answer 2

Se dice que hay dos valores propios distintos $1$ y $2$ . Todo valor propio debe tener un vector propio correspondiente, es parte de la definición de valor propio. El teorema dice que un eigenvector para $1$ y un vector propio para $2$ son linealmente independientes, por lo que la dimensión es al menos $2$ .

Answer 3

Apliquemos el teorema a nuestro caso. Digamos que $v_1$ es el vector propio con valor propio $1$ y que $v_2$ es el vector propio con valor propio $2$ . Desde $1 \neq 2$ el teorema nos dice que $v_1$ y $v_2$ son linealmente independientes, es decir $v_1$ y $v_2$ forman una base para un subespacio bidimensional de $V$ . Si $V$ contiene un subespacio lineal bidimensional, entonces él mismo debe ser al menos bidimensional. Por lo tanto: $\dim V \ge 2.$

Considere el caso $\dim V = 2$ . Si $\dim V = 2$ entonces $v_1$ y $v_2$ constituirá una base para $V$ . Utilizando $v_1$ y $v_2$ como base para $V$ la transformación $T$ es tal que $T(v_1) = 1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2$ y $T(v_2) = 0 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2$ por lo que la representación matricial de $T$ con respecto a la base $\{v_1,v_2\}$ es una matriz diagonal con $1$ y $2$ a lo largo de la diagonal principal. ¡Pero espera! Has dicho que $T$ no era diagonalizable. Tenemos una contradicción. Por lo tanto, $\dim V \neq 2$ y así $\dim V > 2.$