¿Por qué no hay más espacios clasificatorios en la teoría de los números?

Question

Gran parte de la teoría algebraica moderna de los números puede formularse en el marco de la cohomología de grupos. (De acuerdo, esto es un poco exagerado, gran parte de la teoría algebraica de números que me interesa...). Como ejemplos, Cornell y Rosen desarrollan básicamente toda la teoría de los géneros desde el punto de vista cohomológico, una parte importante de la teoría de los campos de clases está codificada como un enunciado muy elegante sobre un producto de copa en la cohomología de Tate del módulo de formación, y el fantástico tomo de Neukirch-Schmidt-Wingberg "Cohomology of Number Fields" muestra de forma convincente que la cohomología es el principal faro que tenemos para iluminar los grupos de Galois de ramificación prescrita.

Por supuesto, también sabemos que la cohomología de grupos puede estudiarse mediante métodos topológicos a través del espacio clasificatorio del grupo (topológico). Mi pregunta es:

Pregunta: ¿Por qué no ocurre esto realmente?

De forma más elaborada: Estoy bastante familiarizado con la literatura de "cohomología de Galois para la teoría de los números", y ni una sola vez me he encontrado con un argumento que pase al espacio clasificatorio para utilizar un hábil truco topológico para un argumento o cálculo cohomológico (aunque me encantaría que me iluminaran). Por otro lado, por ejemplo, están cosas como la respuesta de Tyler a mi pregunta

Representaciones de coordenadas para productos de copa triviales

lo que me hace pensar que puede haber muchas oportunidades de trasladar construcciones y/o líneas de razonamiento interesantes del lado topológico al teórico de los números.

¿Quizás los espacios clasificatorios para grupos profinitos gigantes son demasiado horribles para pensar en ellos? (Aunque hay mucha cohomología de Galois interesante para grupos de Galois finitos...). ¿O tal vez soy un ignorante de la historia y el punto de vista topológico ha guiado el desarrollo de la cohomología de grupos y ha tenido tanto éxito a la hora de establecer una buena teoría (definición de diferenciales, productos de copa/Massey, secuencias espectrales, etc.) que la configuración y las pruebas se pueden reconstruir completamente sin referencia a los argumentos topológicos originales?

( Editar : Parece ser que así es. En un comentario, Richard Borcherds da el enlace Enlace y JS Milne sugiere MacLane 1978 (Origins of the cohomology of groups. Enseign. Math. (2) 24 (1978), no. 1-2, 1--29. MR0497280), ambas parecen buenas lecturas).

Answer 1

Los espacios clasificadores se utilizan mucho en la teoría algebraica de los números, pero de forma ligeramente disfrazada. Un espacio clasificador es en realidad una aproximación al topos clasificador de un grupo. Sin embargo, el topos clasificador no es más que la categoría de conjuntos G, que es exactamente lo que se utiliza para definir la cohomología de los grupos, etc. O, dicho de otro modo, toda la información útil del espacio clasificador ya está contenida en la categoría de conjuntos G.

El comentario al final de la pregunta es correcto: la cohomología de grupo se descubrió como la cohomología del espacio clasificador, y las construcciones topológicas se convirtieron entonces en construcciones algebraicas y se eliminaron de la teoría. Así que, en cierto sentido, todos los cálculos de cohomología de grupos están utilizando implícitamente el espacio clasificador.

Answer 2

Como topólogo, mi opinión es que la cohomología de grupo de interés para los teóricos de los números parece ser generalmente con coeficientes de módulo no triviales. Muchos de los trucos que emplean los topólogos para estudiar los espacios no se aplican en este entorno, y de hecho hay algunos topólogos cuya opinión es que una vez que los coeficientes son no triviales entonces uno "sólo está haciendo álgebra". Pero las actitudes pueden cambiar: la cohomología de los grupos profinitos quizás se consideraba de forma similar, pero en el marco "cromático" (teórico de los números) para la homotopía estable, la cohomología de los grupos profinitos ocupa un lugar destacado. Por esta razón, algunos topólogos se esfuerzan por demostrar que las técnicas que funcionan para los grupos finitos se trasladan de forma razonable a los entornos profinitos.

Answer 3

Supongo que también debemos mencionar la teoría k algebraica. Quillen definió los grupos k como los grupos de homotopía de ciertos espacios clasificatorios. Para un anillo unital y asociativo $R$ , $$ K_n(R):=\pi_n(BGL(R)^+), $$ donde $GL(R)$ es el límite directo de los grupos lineales generales y $^+$ es la construcción plus de Quillen en espacios cuyos grupos fundamentales tienen subgrupos perfectos. Ahora no estoy seguro de la utilidad de esto para el cálculo (después de todo, se trata de grupos de homotopía), pero se utiliza el espacio clasificador. Y hay aplicaciones de teoría de números de la teoría algebraica de k.