¿Alguna sugerencia sobre cómo justificar las preguntas de verdadero/falso en los exámenes de álgebra lineal?

Question

Me cuesta llevar las palabras al papel cuando se trata de verdadero falso justificación de problemas de álgebra lineal.

Mi técnica consiste en utilizar el contraejemplo para falso y utilizar los teoremas del libro para verdadero los.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esto depende de la propia pregunta.

Ejemplo 1: Afirmación verdadera

Si $W$ es un subespacio de $V$ y $\dim(W)=\dim(V)$ entonces $W=V$

En este tipo de pregunta T/F que es verdadera usarás lo que llamaste teoremas del libro para demostrarlo.

Ejemplo 2: Afirmación verdadera

Existen $n>0$ s.t $$ \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{n}=0 $$

où $0$ es significa el $5\times5$ matriz.

En este caso la afirmación es cierta, pero para demostrarla no usaremos el libro (probablemente) pero podemos calcular que para $n=5$ la igualdad se mantiene y esto bastará para demostrar la existencia de tal $n$

Y lo mismo ocurre con las reclamaciones falsas: por ejemplo, si en el primer ejemplo se nos preguntara si $W\neq V$ entonces podríamos dar un contraejemplo, y si nos preguntaran si existe $n$ tal que $I^{n}=0$ entonces la afirmación es falsa pero tendríamos que refutarla y no podríamos hacerlo con contraejemplos - realmente tendríamos que demostrar que no existe tal $n$

Para dejar las cosas un poco más claras:

Si una afirmación es "algo siempre ocurrirá'' - si es verdadera entonces demuéstrelo y si es falso dé un contraejemplo

Si una afirmación es "Existe .. tal que algo sucede'' - si es verdadera basta con encontrar un caso en el que ocurra y si es falso hay que demostrar que nunca ocurre.

Si tienes problemas con otro tipo de preguntas no dudes en comentarlo

Answer 2

Si el problema es más fácil en el camino hacia adelante (lo que significa que a partir de las premisas se genera una respuesta), entonces siga el camino hacia adelante.

Si el camino inverso es más fácil (es decir, de los resultados se llega a las premisas), siga ese camino (como se menciona en los comentarios más abajo, utilizando equivalencias y no simples implicaciones para ser correcto).

Si no, (intenta) encontrar contraejemplos (sencillos). Es sorprendente lo fácil que es encontrar contraejemplos sencillos, en algunos casos, y demostrar efectivamente que algo es falso (si se da el positivo en cuestión).

En cualquier caso verifica el resultado final/contraejemplo que obtienes para estar seguro. Estos son sólo trucos de velocidad para resolver preguntas de examen (de opción múltiple)

Otra serie de consejos y trucos para responder con rapidez, que tiene que ver con los cálculos reales (y no sólo con la inferencia o las equivalencias), consiste en tener una "biblioteca" de resultados y simplificaciones ya preparada (en tu memoria, por ejemplo) y utilizarla para derivar resultados rápidamente (sin tener que reinventar cada pequeño teorema o relación intermedia), etc.