¿Existe una forma cerrada para $ \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{x + i}\right)^{i y} $ ?

Question

Me gustaría encontrar una fórmula cerrada para esta ecuación:

$$ \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{x + i}\right)^{i y} $$

Tanto el denominador como el exponente están cambiando en cada paso. ¿Cómo se puede simplificar?

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Si la forma cerrada no existe por alguna razón, entonces me gustaría encontrar una aproximación.

Tengo algo de experiencia con la suma de la progresión aritmética y geométrica, pero esto es algo diferente, y no sé, cómo aplicar mis conocimientos anteriores aquí.

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En mi aplicación, el valor de $n$ suele estar entre 50 y 1000, por lo que $lim_{n \to \infty}$ puede dar un resultado erróneo. $x$ está en el rango $(-10, 10)$ donde $x \neq 0$ y $y$ está en el rango $(0, \frac{1}{10})$ donde $y>0$

Answer 1

Una cosa es segura: los términos de la suma convergen a una constante, a saber $$ \lim_{i\to\infty} \left(\frac{i}{x + i}\right)^{i y} = \frac{1}{\lim_{i\to\infty} \left[\left(1+\frac{x}{i}\right)^i\right]^y} = \frac{1}{[e^x]^y} = e^{-xy} $$ La convergencia de los términos puede ser muy lenta, dependiendo de $x$ . De todos modos, significa que la suma en sí no converge a nada: es continuamente creciente.