Sobre el número de modelos contables de teorías completas de modelos de ZFC

Question

Fijar el lenguaje de la teoría de conjuntos $\mathcal{L}=\{\in\}$ . Sea $\langle M,\in\rangle$ sea un conjunto o modelo de clase propio de ZFC (por ejemplo $M$ podría ser $L$ , $HOD$ , $V_{\kappa}$ para algún cardenal inaccesible $\kappa$ etc.) consideren la teoría completa de este modelo en el lenguaje $\mathcal{L}$ es decir $T_{M}:=Th(\langle M,\in\rangle)=\{\sigma\in\mathcal{L}~|~\langle M,\in\rangle\models \sigma\}$ . Mis preguntas son sobre el posible número de modelos contables de esta teoría completa hasta el isomorfismo $I(T_{M},\aleph_0)$ cuando $M$ varía en función de los distintos modelos de $ZFC$ .

Pregunta 1: ¿Qué son $I(T_{L},\aleph_0)$ y $I(T_{HOD},\aleph_0)$ , $I(T_{V_{\kappa}},\aleph_0)$ (para $\kappa$ inaccesible)?

Pregunta 2: ¿Existe un conjunto o modelo de clase propio $M$ de ZFC tal que $I(T_{M},\aleph_0)=\lambda$ para cada cardenal $\lambda\in\{1,3,4,\cdots,\aleph_{0},\aleph_1,2^{\aleph_{0}}\}$ ?

Answer 1

Levon Haykazyan tiene la idea correcta con su comentario. Cualquier terminación consistente de ZFC (llámese ZFC $^*$ ) tiene $2^{\aleph_0}$ modelos contables hasta el isomorfismo.

Nótese que, en relación con ZFC, cada ordinal finito es definible sin parámetros. $0$ es definible por $\phi_0: \forall y\, \lnot y\in x$ y $n+1$ es definible por $\phi_{n+1}:\forall y\,(y\in x)\leftrightarrow \lor_{i\leq n} \phi_i(y)$ .

Ahora, para cada $S\subseteq \omega$ (nuestro $\omega$ ), considere el tipo parcial $$p_S(x) = \{\exists y\, \phi_n(y)\land y\in x\mid n\in S\}\cup\{\lnot \exists y\, \phi_n(y)\land y\in x\mid n\notin S\}.$$ Esta es una familia de $2^{\aleph_0}$ tipos parciales contradictorios sobre $\emptyset$ , todo ello en consonancia con ZFC $^*$ . Cada una de ellas puede realizarse en un modelo contable de ZFC $^*$ pero cualquier estructura contable sólo realiza un número contable de tipos sobre $\emptyset$ y dos estructuras isomorfas cualesquiera realizan los mismos tipos. Por lo tanto, ZFC $^*$ debe tener $2^{\aleph_0}$ modelos contables hasta el isomorfismo.