$(w,z) \mapsto \partial{f}/\partial{z}(w,z)$ no necesariamente continua si $f$ es holomorfo en la 2ª componente

Question

Esta pregunta está relacionada con Integral de parámetros holomórficos y quiero asegurarme de que realmente tenemos que exigir que el mapa $(w,z) \mapsto \partial{f}/\partial{z}(w,z)$ es continua. Aquí están los detalles:

Estoy buscando un camino $\gamma\colon[0,1] \to \mathbb{C}$ algún subconjunto abierto $U\subset \mathbb{C}$ y una función continua $f\colon \gamma([0,1]) \times U \to \mathbb{C}$ tal que para cada elemento fijo $w \in \gamma([0,1])$ el mapa inducido $z \mapsto f(w,z)$ es holomorfo pero el mapa $(w,z) \mapsto \partial{f}/\partial{z}(w,z)$ no es continua en $\gamma([0,1]) \times U$ .

Answer 1

Este ejemplo no existe. Arreglar $z_0\in U$ y elija $\varepsilon > 0$ tan pequeño que $B_{2\varepsilon}(z_0) \subset U$ . Entonces tenemos

$$\frac{\partial f}{\partial z}(w,z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert \zeta - z_0\rvert = \varepsilon} \frac{f(w,\zeta)}{(\zeta - z)^2}\,d\zeta$$

para $\lvert z-z_0\rvert < \varepsilon$ y la integral es una función continua en $\gamma([0,1]) \times B_{\varepsilon}(z_0)$ desde $f$ es uniformemente continua en el conjunto compacto $\gamma([0,1]) \times \overline{B_\varepsilon(z_0)}$ .