Existencia de un primo entre $ap$ y $(a+1)p$ - generalización del postulado de Bertrand

Question

Conjetura:

Existe al menos un número primo $p_{m}$ : $ap_{n} < p_{m} < (a+1)p_{n}$ , $\forall$ $a \in \mathbb{N}$ y $\forall$ $p_{n}$ $\in \mathbb{P} $ si $(a+1)p_{n} < p_{n+1}^2$ .

¿Existe un nombre para esta conjetura, y ha sido probada o refutada?

Answer 1

El postulado de Bertrand dice que siempre hay un primo entre $n$ y $2n$ para cualquier $n$ . Así que para $a=1$ Su conjetura es un caso especial de esto (y no necesita que $(a+1)p_n<p_{n+1}^2$ hipótesis). Obsérvese que al final de ese artículo se dice que sólo recientemente se ha demostrado que siempre hay un primo entre $2n$ y $3n$ y entre $3n$ y $4n$ por lo que su conjetura es cierta para $a=2$ y $a=3$ también (y de nuevo, sin necesidad de esa hipótesis extra). No sé si se trata del caso general (o si existe un nombre para él), pero quizá quieras empezar por ver si las técnicas desarrolladas para esos últimos casos pueden adaptarse para demostrar lo que quieres.