Si $K_i=\operatorname{ker}(T^i)$ y $\exists r\in\mathbb{N}:K_r=K_{r+1}$ entonces demuestre $K_r=K_{r+i}$ $\forall i\geq 1$

Question

Sea V un espacio vectorial n-dimensional sobre $\mathbb{C}$ y $T:V\rightarrow V$ sea una transformación lineal. Para $i\geq 0$ dejar $K_i=\operatorname{ker}(T^i)$ .

He demostrado que $K_i \subseteq K_{i+1}$ y que existe un número entero no negativo $r$ tal que $K_r=K_{r+1}$

¿Puede alguien ayudarme a probar que $K_r=K_{r+i}$ $\forall i\geq 1$ y por lo tanto $V=K_r \oplus T^r(V)$ ?

Lo intento con la inducción, claramente es cierto para $i=0$ , estoy asumiendo que es cierto para $i$ y tratando de demostrar que si $K_r=K_{r+1}= \dots = K_i \subset K_{i+1 }$ entonces esto lleva a una contradicción.

Answer 1

Para $x \in K_{r+i}$ tenemos $T^{i-1}(x) \in K_{r+1}=K_r$ Por lo tanto $x \in K_{r+i-1}$ .

Answer 2

Te han dado buenas pistas para demostrar que $K_r = K_{r+i}$ para $i\geq 0$ .

Para demostrar que $V=K_r\oplus T^{r}(V)$ Obsérvese que el Teorema de Rango-Nulidad garantiza que $\dim(K_r) + \dim(T^r(V)) = \dim(V)$ por lo que realmente sólo hay que demostrar que la suma es directa; es decir, que $K_r\cap T^{r}(V)=\{\mathbf{0}\}$ .

Por lo tanto, supongamos que $\mathbf{v}\in K_r\cap T^{r}(V)$ . Quiere demostrar que $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ . Desde $\mathbf{v}\in T^r(V)$ existe $\mathbf{w}\in V$ tal que $T^r(\mathbf{w})=\mathbf{v}$ ; ya que $\mathbf{v}\in K_r$ Esto significa que $\mathbf{0}=T^r(\mathbf{v})=T^r(T^r(\mathbf{w}))=T^{r+r}(\mathbf{w})$ Así que $\mathbf{w}\in K_{r+r}$ . Pero como $K_r=K_{r+r}$ ...

Answer 3

SUGERENCIA: $T^{-1}(K_{r+i})=K_{r+i+1}$ para todos $i\geq 0$ . Utilice también su resultado conocido $K_r=K_{r+1}$ .