Lo siento si esto suena pedante, pero parece que hay algunas cosas en tu post que son problemáticas:
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Usted habla continuamente de la función $\arcsin(\sin(x))$ cuando en realidad la función es $\arcsin \circ \sin$ . O se puede hablar de la función $g$ definido por $g(x)=\arcsin(\sin(x))$ para todos $x$ . Observe aquí cómo $x$ es un variable ficticia que sólo sirve para ilustrar lo que ocurre cuando se introduce un número en la función. También podríamos hablar de la función $g$ definido por $g(y)=\arcsin(\sin(y))$ para todos $y$ . No hay ninguna diferencia. Diciendo que $\arcsin(\sin(x))$ es una función es un abuso de la notación. Si ya sabes y entiendes esto, entonces no dudes en pasar al siguiente punto.
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Una función sólo está bien definida si se indica desde el principio cuál es el dominio. Así, cuando se pregunta "¿cuál es el dominio de $\arcsin(\sin(x))$ ', en realidad debería preguntarse 'para qué valores de $x$ hace $\arcsin(\sin(x))$ ¿tiene sentido?
Ahora que hemos dejado de lado estos tecnicismos, podemos abordar el meollo de su pregunta. Considere cómo $\arcsin$ es una función que acepta entradas entre $-1$ y $1$ . La imagen de $\sin$ es $[-1,1]$ lo que significa que las salidas de la función seno siempre funcionan como entradas de la función arcoseno. Y como el dominio de $\sin$ es $\mathbb{R}$ el dominio de $\arcsin \circ \sin$ también es $\mathbb{R}$ .
Como usted ha señalado correctamente, $\arcsin$ es diferenciable en $(-1,1)$ . En los puntos $(-1,-\pi/2)$ y $(1,\pi/2)$ la gráfica tiene una tangente vertical, por lo que la derivada no existe. Esto significa que $g'(x)$ sólo tiene sentido cuando $\sin x \in (-1,1)$ . El $x$ -Los valores que queremos excluir son $-\pi/2$ y $\pi/2$ pero, teniendo en cuenta la periodicidad del seno, deberíamos excluir $\pi/2 \pm k\pi$ para cualquier entero $k$ . Por lo tanto, $\arcsin \circ \sin$ es diferenciable en $\mathbb{R} \setminus \{x \mid x=\pi/2+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ .
