La función $\arcsin(\sin(x))$

Question

Tengo esta pregunta pero no estoy muy seguro de mi solución. ¿Tiene esto sentido?

Dada la función $g(x) = \arcsin(\sin x))$ , encontrar su dominio y dónde es diferenciable.

Así que asumo que es suficiente decir que $\sin$ es el codominio de $[-1,1]$ y así $\arcsin$ siendo su función inversa, es $[-1,1]$ .

Ahora $\sin$ es diferenciable en $\mathbb R$ y $\arcsin$ es diferenciable en $(-1,1)$ (¿lo es?) y por tanto utilizando la regla de la cadena podemos decir que $g$ es diferenciable en todo $a \in \mathbb R$ para lo cual $\sin(a) \neq 1$ o $\sin(a) \neq -1$ . Lo que sería $\mathbb R$ \ { $-\pi/2, \pi/2$ }.

¡Gracias!

Answer 1

Una imagen vale más que mil palabras:
Las pendientes son $\pm 1$ . Claramente el dominio es toda la línea real y es diferenciable excepto en las esquinas, que vienen en $\frac \pi2+k\pi$ para $k$ un número entero.

Answer 2

Lo siento si esto suena pedante, pero parece que hay algunas cosas en tu post que son problemáticas:

• Usted habla continuamente de la función $\arcsin(\sin(x))$ cuando en realidad la función es $\arcsin \circ \sin$ . O se puede hablar de la función $g$ definido por $g(x)=\arcsin(\sin(x))$ para todos $x$ . Observe aquí cómo $x$ es un variable ficticia que sólo sirve para ilustrar lo que ocurre cuando se introduce un número en la función. También podríamos hablar de la función $g$ definido por $g(y)=\arcsin(\sin(y))$ para todos $y$ . No hay ninguna diferencia. Diciendo que $\arcsin(\sin(x))$ es una función es un abuso de la notación. Si ya sabes y entiendes esto, entonces no dudes en pasar al siguiente punto.

• Una función sólo está bien definida si se indica desde el principio cuál es el dominio. Así, cuando se pregunta "¿cuál es el dominio de $\arcsin(\sin(x))$ ', en realidad debería preguntarse 'para qué valores de $x$ hace $\arcsin(\sin(x))$ ¿tiene sentido?

Ahora que hemos dejado de lado estos tecnicismos, podemos abordar el meollo de su pregunta. Considere cómo $\arcsin$ es una función que acepta entradas entre $-1$ y $1$ . La imagen de $\sin$ es $[-1,1]$ lo que significa que las salidas de la función seno siempre funcionan como entradas de la función arcoseno. Y como el dominio de $\sin$ es $\mathbb{R}$ el dominio de $\arcsin \circ \sin$ también es $\mathbb{R}$ .

Como usted ha señalado correctamente, $\arcsin$ es diferenciable en $(-1,1)$ . En los puntos $(-1,-\pi/2)$ y $(1,\pi/2)$ la gráfica tiene una tangente vertical, por lo que la derivada no existe. Esto significa que $g'(x)$ sólo tiene sentido cuando $\sin x \in (-1,1)$ . El $x$ -Los valores que queremos excluir son $-\pi/2$ y $\pi/2$ pero, teniendo en cuenta la periodicidad del seno, deberíamos excluir $\pi/2 \pm k\pi$ para cualquier entero $k$ . Por lo tanto, $\arcsin \circ \sin$ es diferenciable en $\mathbb{R} \setminus \{x \mid x=\pi/2+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ .

Answer 3

El dominio es $\mathbb{R}$ . Es diferenciable en $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + n\pi | n \in \mathbb{Z}\}$ . Compruebe esto observando que $$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \Rightarrow \arcsin (\sin x) = x$$ Intenta escribir la fórmula cuando $x$ no está en ese intervalo.