¿Pueden los esqueletos simplificar la teoría de las categorías?

Question

No soy en absoluto un experto en teoría de categorías. De todas formas siempre que he estudiado un concepto de la teoría de categorías he tenido la sensación de que la mayoría de las sutilezas introducidas son artificiales.

Para algunos ejemplos:

-no se suelen considerar categorías isomorfas, sino equivalentes

-los objetos universales son únicos sólo hasta un isomorfismo canónico

-la categoría de categorías es realmente una categoría 2, por lo que algunas construcciones naturales no dan lugar a funtores en categorías, sino sólo a pseudofunctores

-los desgarros de las categorías fibrosas no siempre se dividen

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Mi pregunta es: ¿se puede utilizar skeleta para simplificar todo esto? Parece que construir todo usando skeleta desde el principio eliminaría muchas indeterminaciones en estas construcciones. Por otro lado, puede ser el caso de que estas sutilezas sean realmente intrínsecas, por lo que usar skeleta, que no están determinadas canónicamente, sólo trasladaría las dificultades.

Answer 1

El primer punto, y quizás el más importante, es que casi ninguna de las categorías que se dan en la naturaleza son esqueléticas . El axioma de elección implica que toda categoría es equivalente a una esquelética, pero tal esqueleto suele ser artificioso y no canónico. Así, aunque el uso de categorías esqueléticas simplificara la teoría de las categorías, no significaría que la sutilezas eran artificiales, sino que las sutilezas que se producen naturalmente podían ser eliminadas por una construcción artificial (el esqueleto).

Sin embargo, de hecho, los esqueletos no simplifican casi nada en la teoría de categorías. Es cierto, por ejemplo, que cualquier functor entre categorías esqueléticas que forma parte de una equivalencia de categorías es en realidad un isomorfismo de categorías. Sin embargo, esto no es realmente útil porque, como se ha mencionado anteriormente, la mayoría de las categorías interesantes no son esqueléticas. Así que, en la práctica, habría que seguir tratando con equivalencias de categorías, o bien sustituir constantemente las categorías por otras esqueléticas equivalentes, lo que es aún más tedioso (y aún se necesitaría el noción de la "equivalencia" para saber qué significa sustituir una categoría por otra "equivalente" al esqueleto).

En todos los demás ejemplos que mencionas, las categorías esqueléticas ni siquiera simplifican mucho las cosas. En general, no todo pseudofuntor entre categorías de 2 es equivalente a un functor estricto, y la esqueletalidad no te ayudará aquí. Incluso si las homocategorías de tus 2-categorías son esqueléticas, todavía puede haber pseudofunctores que no sean equivalentes a los estrictos, porque el datos de un pseudofuntor incluye isomorfismos de coherencia que pueden no ser identidades. Lo mismo ocurre con las fibraciones hendidas y divididas. Una cuestión similar se planteó en el cuadro de consulta aquí : los datos importantes pueden codificarse en isomorfismos de coherencia incluso cuando son automorfismos.

El argumento de CWM mencionado por Leonid es otro buen ejemplo de la inutilidad de los esqueletos. Aquí hay una última que me ha picado en el pasado. Mencionas que los objetos universales son únicos sólo hasta el isomorfismo (único especificado). Así que uno podría pensar que en un esqueleto categoría, los objetos universales serían únicos en la nariz. Esto es en realidad falso Porque un objeto universal no es sólo un objeto, sino un objeto junto con los datos que exhiben su propiedad universal, y un mismo objeto puede tener una determinada propiedad universal de más de una manera.

Por ejemplo, un producto de los objetos A y B es un objeto P junto con proyecciones P→A y P→B que satisfacen una propiedad universal. Si Q es otro objeto con proyecciones Q→A y Q→B y la misma propiedad, entonces a partir de las propiedades universales obtenemos un único isomorfismo especificado P≅Q. Ahora bien, si la categoría es esquelética, entonces debemos tener P=Q, pero eso no significa que el isomorfismo P≅Q sea la identidad . De hecho, si P es un producto de A y B con las proyecciones P→A y P→B, entonces al componer estas dos proyecciones con cualquier automorfismo de P se obtiene otro producto de A y B, que resulta tener el mismo objeto vértice P pero tiene diferentes proyecciones. Así que asumir que tu categoría es esquelética no hace nada más único.

Answer 2

Creo que una de las ideas básicas de la teoría de las categorías, y de gran parte de las tendencias actuales en diversas áreas, es que no hay que luchar contra el hecho de que haya opciones, sino que hay que tratarlas todas al mismo tiempo, ya que la presencia de opciones es en sí misma una información importante.

Answer 3

En el libro de MacLane "Categories for the Working Mathematician", al final de la sección VII.1 hay un argumento debido a Isbell que demuestra que no se puede estrictizar una categoría monoidal sustituyéndola por su esqueleto.

En general, yo diría que lo único que se consigue sustituyendo una categoría por su esqueleto es reemplazar los isomorfismos naturales por automorfismos mucho menos naturales.

Answer 4

Un caso especial de la cuestión de si las categorías deben ser esqueléticas es si se deben elegir bases para los espacios vectoriales. Esto fue el tema de una pregunta anterior de MO . Al fin y al cabo, la forma esquelética estándar de la categoría $\text{Vect}(k)_{<\infty}$ (espacios vectoriales de dimensión finita sobre $k$ ) es el conjunto de todos los $k^n$ . En la primera pasada por el álgebra lineal, se enseña a los alumnos este modelo esquelético de esta categoría, y luego, en iteraciones posteriores, se les enseñan diferentes modelos.

Tomando como ejemplo las bases de los espacios vectoriales, la forma esquelética de una categoría es a la vez siempre útil y nunca útil. Por un lado, los argumentos abstractos son casi siempre más claros y menos propensos a errores sin una suposición esquelética. Como expliqué en la otra pregunta, si no se introducen objetos en el esqueleto de una categoría, se obtienen "tipos de datos", de modo que dos lados de una ecuación incorrecta a menudo ni siquiera tienen el mismo tipo, en lugar de simplemente valores diferentes. Por otro lado, la forma esquelética de una categoría te muestra dónde está la información numérica real.

Por poner otro ejemplo, si se estudian las categorías tensoriales semisimples, exigir un esqueleto es una mala idea, porque abarrota las pruebas sin ninguna ganancia. Pero también es una buena idea, porque te muestra que los datos reales de dicha categoría tensorial están en su $6j$ -símbolo, o si quieres su asociador o su símbolo de tetraedro.

Answer 5

He aquí una versión simplificada de uno de los puntos de Mike.

En general, en la teoría de las categorías, una de las razones por las que uno no debería ser "malvado" (lo que significa pensar en las versiones estrictas de las cosas en lugar de en las versiones débiles de las cosas) es que incluso cuando restringes tu atención a las cosas estrictas, todavía tienes que preocuparte por los mapas débiles.

Por ejemplo, como dice Mike, incluso si sólo quieres pensar en categorías esqueléticas e isomorfismos de categorías esqueléticas, el teorema de la esquelización requiere que pienses en equivalencias.

Del mismo modo, aunque sólo se quiera pensar en categorías monoidales estrictas, el teorema de la estrictización exige pensar en funtores monoidales débiles entre ellas. Aquí las cosas son aún peores, si no recuerdo mal, donde puedes tener dos categorías monoidales estrictas y un funtor monoidal débil entre ellas y el funtor no puede ser estricitado.