Cortar un rectángulo en un número impar de piezas no rectangulares congruentes

Question

Nos interesa embaldosar un rectángulo con copias de una sola baldosa (se permiten rotaciones y reflexiones). Esto es muy fácil de hacer, cortando el rectángulo en rectángulos más pequeños.

¿Qué ocurre cuando pedimos que las piezas no sean rectangulares?

Para un número par de piezas, esto es fácil de nuevo (córtalo en rectángulos, y luego corta cada rectángulo en dos por su diagonal. También es fácil encontrar otros tilings).

El caso interesante (y difícil) es el de las baldosas con un impar número de no rectangular piezas.

Algunas preguntas:

• ¿Puede dar ejemplos de este tipo de tilings?
• ¿Cuál es el menor número (impar) de piezas para el que es posible?
• ¿Es posible para cada número de piezas? ( Por ejemplo , con cinco)

Hay dos versiones principales del problema: el caso del poliominó (cuando las fichas están formadas por cuadrados unitarios), y el caso general (cuando las fichas pueden tener cualquier forma). Las respuestas a las preguntas anteriores pueden ser diferentes en cada caso.

Parece que es imposible hacerlo con tres piezas (tengo alguna prueba), y el menor número de piezas que podría conseguir es $15$ como se muestra arriba:

     (fuente)

Este problema es muy útil para pasar el tiempo cuando se asiste a alguna charla aburrida, etc.

Answer 1

El libro de Golomb Polyominoes tiene una sección sobre esto. Llamamos "orden impar" al menor número de copias de un poliomino que puede embaldosar un rectángulo. Entonces Golomb dice que hay poliominós de orden impar 1, 11 y 15+6t para todos $t \ge 0$ . El poliominó de orden impar 11 se debe a Klarner [1], y se ilustra aquí por Michael Reid .

Reid ha muchas imágenes de inclinaciones de rectángulos con poliominós . En particular, se puede ver la familia 15+6t: aquí hay poliominós con impar-orden 15 , impar-orden 21 , impar-orden 27 y así sucesivamente. Reid ha demostrado [3] que existen otras órdenes de impar, como la 35, la 49 y la 221, pero no sé si hay un patrón general.

Finalmente, Stewart y Wormstein [2] demostraron que los poliominós de orden 3 no existen. (El libro de Stewart Otra buena matemática en la que me has metido sugiere que Wormstein es un personaje de ficción).

[1] David A. Klarner, Empaquetar un rectángulo con N-ominós congruentes J. Combin. Theory 7 (1969) 107-115, [2] Stewart, Ian N. y Wormstein, Albert. Polyominoes of order 3 do not exist. J. Combin. Theory Series A 61 (1992) 130-136.
[3] Michael Reid. Tiling Rectangles and Half Strips with Congruent Polyominoes. J. Combin. Theory Series A 80 (1997) 106-123.

Answer 2

Pongo la solución de 11 piezas que se muestra en el artículo citado por Michael (no está disponible en línea de forma gratuita).

     (fuente)

Este es el menor número de piezas conocido. Algunas observaciones:

• La pregunta es Abrir para 5, 7 o 9 piezas. ¡Consigue tus lápices!
• Hasta ahora todo es con poliominós. ¿Alguna sugerencia con formas más complicadas?
• A diferencia de la otra solución que publiqué, ésta no puede ser redimensionada a lo largo del $x$ o $y$ eje.

Answer 3

Ok. Es fácil ver que el rectángulo no puede ser cortado en un número impar de triángulos iguales: Monsky demostró [aquí] que un cuadrado no puede ser cortado en un número impar de triángulos con áreas iguales. Pero si tenemos un rectángulo dividido en un número impar de triángulos iguales, podríamos encogerlo en una dirección y obtener un cuadrado dividido en un número impar de triángulos con áreas iguales - contradicción.

Actualización : Si la baldosa se puede cortar en un número impar de triángulos con la misma área, entonces es obvio que el rectángulo no se puede cortar en un número impar de tales baldosas. Ejemplo: