¿Cómo se puede evaluar esta integral múltiple?

Question

Estoy atascado tratando de resolver la siguiente integral:

$$\int_R (y+2x^2)(y-x^2) dA$$ donde $R$ se define mediante las siguientes ecuaciones: $xy=1$ , $xy=2$ , $y=x^2$ , $y=x^2-1$ con $x$ y $y$ positivos.

He probado varios cambios de variables por ejemplo: $u=xy$ , $v=y-x^2$ o $u=y-x^2$ , $v=x^2$ pero me bloqueo porque para el jacobiano ot para los límites de integración tengo que resolver una ecuación de tercer grado. Sé que podría resolverla usando la fórmula de Cardano pero tiene que haber una forma fácil de hacerlo.

Muchas gracias. Feliz Navidad.

Answer 1

Como primer paso, es mejor representar la región de integración, como en la figura.

De esto vemos que, para integrar, tenemos que dividir el dominio en tres subregiones como:

1) $ x_A\le x\le x_B$ donde tenemos $\frac{1}{x}\le y\le x^2$

2) $ x_B\le x\le x_C$ donde tenemos $\frac{1}{x}\le y\le \frac{2}{x}$

3) $ x_C\le x\le x_D$ donde tenemos $x^2-1\le y\le \frac{2}{x}$

Esto nos da los límites de integración y la integración es simple para la función dada. El problema es encontrar las coordenadas de los puntos $A,B,C,D$ donde encontramos cierta dificultad para resolver ecuaciones de tercer grado.

¿Se puede hacer desde allí?