Prueba $\alpha i=i\alpha$ si $c=d=0$ . Sea $\alpha \in \mathbb H$ y $\alpha=a+bi+cj+dk, a,b,c,d \in \mathbb Q$ .

Question

Prueba $\alpha i=i\alpha$ si $c=d=0$ . Sea $\alpha \in \mathbb H$ y $\alpha=a+bi+cj+dk, a,b,c,d \in \mathbb Q$ .

Mi intento:

$(\rightarrow):$ $$\alpha i=ai-b-ck+dk \Rightarrow -b+ai+dj-ck$$

$$i\alpha =ai-b+ck-dk \Rightarrow -b+ai-dj+ck$$

Así, $\alpha i =i \alpha$ porque $d=-d$ y $c=-c$ implica $c=d=0$ .

$(\leftarrow):$ Si $c=d=0$ entonces,

$$(a+bi+0j+0k)i=i(a+bi+0j+0k)$$ $$(a+bi)i=i(a+bi)$$ $$ai-b=ai-b$$ Así, $\alpha i = i \alpha$ .

No sé si se me permite comenzar la segunda parte con la equivalencia: $(a+bi+0j+0k)i=i(a+bi+0j+0k)$ . Sé que cuando intentas demostrar que dos cosas son iguales no puedes empezar la prueba afirmando que la igualdad es verdadera. ¿Funciona en este caso porque estamos afirmando $c=d=0$ primero, y luego conectarlos?

Answer 1

Llame a $[\alpha,\beta]$ el conmutador de dos cuaterniones; entonces no es difícil ver que se trata de un producto bilineal. Además $[1,i]=0$ y $[i,i]=0$ . Sabiendo esto, calcula $[\alpha,i]$ y aprovechar el hecho de que $j$ y $k$ son linealmente independientes.