Radio de convergencia de $\sum\ z^{n!}$

Question

¿Alguien sabe cómo encontrar el radio de convergencia de la serie $\sum\ z^{n!}$ , donde $z$ ¿es un número complejo?

Intenté usar la definición: $$\frac{1}{R}=\limsup\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$$ pero no tuve éxito.

Answer 1

Utilizando la prueba de la proporción, $$\Bigl|\frac{z^{(n+1)!}}{z^{n!}}\Bigl|=|z|^{(n+1)!-n!}=|z|^{n(n!)}\ .$$ Si $n\to\infty$ entonces esta última expresión tiende a infinito si $|z|>1$ o a cero si $|z|<1$ . Por tanto, la serie converge para $|z|<1$ diverge para $|z|>1$ y el radio de convergencia es $1$ .

La prueba de la proporción en el formato que ha utilizado, donde $a_k$ es el coeficiente de $z^k$ no funciona bien porque muchos de los $a_k$ son cero y, por tanto, el límite requerido no existe.

Answer 2

$$\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n!} = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} z^{j}$$

donde

$$ a_{j} = \begin{cases} 1, \ if \ j = m! \ for \ some \ m \in \mathbb{N},\\ 0, \ otherwise. \end{cases} $$

Entonces,

$$\frac{1}{R} := \lim \sup |a_{n}|^{\frac{1}{n}} = 1$$ .

Answer 3

Para cualquier serie $S(z) =\sum_{n=1}^{\infty} z^{a_n} $ donde $a_n$ es una secuencia creciente de enteros positivos, el radio de convergencia es uno, ya que converge para $|z| < 1$ desde $|z|^{a_n} \le |z|^n $ desde $a_n \ge n$ y diverge para $|z| > 1$ desde $|z|^{a_n} \ge |z|^n$ por la misma razón.

En $|z| = 1$ , las cosas pueden complicarse. Sin embargo, ciertamente diverge para $z = 1$ .