¿Existe una solución analítica para esta ecuación matricial?

Question

Me encuentro con esta forma cuadrática al cuadrado: $$ f(\mathbf{x}) = (a - \mathbf{x}^{T}\mathbf{Ax})^{2} $$ donde $a$ es un escalar, $\mathbf{x}$ es un $d$ -y el vector de dimensiones, y $\mathbf{A}$ es un $d\times d$ matriz simétrica positiva definida. La minimización de esta función con respecto al vector $\mathbf{x}$ requiere resolver esta inusual ecuación matriz-vectorial $$ \arg\min_{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{d}} f(\mathbf{x}) = \left\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{d}:\mathbf{Ax}(a-\mathbf{x}^{T}\mathbf{Ax}) = 0\right\} $$

¿Tiene este problema de minimización una solución analítica? ¿O debo recurrir a algún tipo de algoritmo de optimización numérica? Lo mejor sería encontrar la expresión de forma cerrada, si es que la hay.

Answer 1

Utilice el teorema espectral para escribir $A=PDP^T$ donde $D$ es diagonal y $P$ es ortogonal. Obsérvese que $D$ tiene elementos diagonales estrictamente positivos porque $A$ es positiva definida.

Se produce un mínimo garantizado si

$$a=x^TPDP^Tx$$

Escriba $y=P^Tx$ y esto se convierte en $a=y^TDy$ . Si los elementos diagonales de $D$ son $\lambda_i$ para $i=1,\dots,d$ y $y=(y_1,\dots,y_d)$ entonces esto es equivalente a

$$a=\sum_{i=1}^d\lambda_i y_i^2 \tag{$ * $}$$

Cuando $a<0$ vemos que no puede haber solución. Cuando $a=0$ , $y=0$ es la única solución. Para estos dos casos, lo mejor que podemos hacer es $y=x=0$ .
Cuando $a>0$ vemos que hay muchas soluciones, ¡un elipsoide de soluciones!

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En otras palabras, cuando $a>0$ Lo que puedes hacer es..:

$\quad(1)$ : Calcular los valores propios $\lambda_i$ de $A$ .

$\quad(2)$ : Calcular una base ortonormal de vectores propios para A, obteniendo así $P$ .

$\quad(3)$ : Elija algunos $y$ que resuelve $(*)$ .

$\quad(4)$ : Set $x=Py$ $($ recuerda que $P$ es ortogonal $)$ .

Answer 2

Parece que estás haciendo esto demasiado difícil. Si $a>0$ , tú eliges $\mathbf x$ para que $\mathbf x^\top A\mathbf x = a$ y haces $f(\mathbf x)=0$ . Si $a\le 0$ se obtiene el mínimo cuando $\mathbf x = \mathbf 0$ . Su ecuación de cálculo se resuelve tomando $a=\mathbf x^\top A\mathbf x$ (mi primer caso) o $\mathbf x=\mathbf 0$ (mi segundo caso) ya que $A$ es no singular.