Trifolios de Calabi-Yau topológicamente distintos

Question

En las dimensiones 1 y 2 sólo hay una, respectivamente 2, variedades compactas de Kaehler con primera clase de Chern nula, hasta el difeomorfismo. Sin embargo, es un problema abierto si el número de tipos topológicos de tales variedades de dimensión 3 (trípticos de Calabi-Yau) está o no acotado. Me gustaría preguntar qué se sabe en este sentido. En particular, ¿se sabe que la característica de Euler o el número total de Betti de las tríadas de Calabi-Yau no pueden ser arbitrariamente grandes? ¿Hay alguna razón matemática (o física) para esperar una u otra respuesta?

Como pregunta al margen: Recuerdo haber oído varias veces algo así como que "las 3-folds de Calabi-Yau parametrizan (algún tipo de) vacua en la teoría de cuerdas", pero nunca fui capaz de darle un sentido preciso. Así que cualquier comentario sobre este punto o referencias accesibles para los matemáticos serían muy bienvenidos.

Answer 1

Esta es una muy buena pregunta, y realmente me encantaría saber la respuesta ya que su estado actual parece ser bastante oscuro. A continuación, sólo una recopilación de observaciones, que seguramente no es la respuesta completa ni mucho menos. Me gustaría argumentar que por el momento no hay ninguna razón matemática profunda para pensar que el número de Euler de los 3 pliegues de CY está acotado. Tampoco creo que haya ninguna intuición física al respecto. Pero sí hay alguna información empírica, y la describiré ahora, empezando por hablar de "cuántos tipos topológicos de variedades de CY conocemos por el momento".

Por lo que entiendo para hoy la construcción de Calabi-Yau 3-pliegues, que trajo con mucho la mayor cantidad de ejemplos es la construcción de Batyrev. Comienza con un politopo reflexivo de dimensión 4, toma el correspondiente pliegue tórico 4, toma una sección genérica anticanónica y obtiene así un orbifold de Calabi-Yau. Siempre hay una resolución crepante. Así se obtiene un Calabi-Yau liso. Los politopos reflexivos de dimensión 4 se clasifican el número es 473.800.776. Supongo que este número permitió a Miles Reid decir en su artículo "Updates on 3-folds" en 2002 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0206/0206157v3.pdf , página 519

"Esto da unas 500.000.000 familias de CY de 3 pliegues, mucho más impresionantes que un simple infinito (véase el sitio web http://tph16.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/ ). Seguramente hay muchas más; yo creo que hay infinitas familias, pero la opinión contraria está muy extendida"

Un problema con el número 500.000.000 de esta frase es que parece estar más relacionado con el número de orbifolds de CY, que con el número de manifolds de CY obtenidos al resolverlos. A saber, las singularidades que aparecen en estas orbifolds de CY pueden ser bastante complicadas y tienen muchas resoluciones (supongo que al menos miles a veces), así que el significado de 500.000.000 no está muy claro aquí.

Este verano le pregunté a Maximillian Kreuzer (una de las personas que realmente consiguió este número 473.800.776 de politopos), una pregunta similar a la que tú haces aquí. Y me dijo que él puede garantizar que existen al menos 30108 tipos topológicos de CY 3-folds. ¿Por qué? Porque para todos estos ejemplos se pueden calcular los números de Hodge $h^{1,1}$ y $h^{2,1}$ y se obtienen 30108 valores diferentes. Mucho menos que 473.800.776. En cuanto a invariantes topológicos más refinados (como la multiplicación en cohomología) según él, esto no fue realmente estudiado, así que desafortunadamente 30108 parece ser el número máximo garantizado por hoy. Pero me encantaría saber que me estoy equivocando aquí, y que hay alguna otra información.

Ahora bien, me parece que la razón, que algunos dicen, de que las características de Euler de los 3 pliegues de CY puedan estar acotadas es puramente empírica. En concreto, la búsqueda de pliegues CY 3 lleva ya 20 años. Desde entonces se han encontrado muchas familias nuevas. Sabemos que la simetría especular comenzó con esta tabla simétrica de números "( $h^{1,1}, h^{2,1})$ ", y el hecho curioso es que, según Maximillian, lo que ha ocurrido con esta mesa en 20 años no se ha hecho más ancha en 20 años, sólo se ha hecho más densa. El famoso cuadro se encuentra en la página 9 de las siguientes notas de Dominic Joyce http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/SympGeom2009/SGlect13+14.pdf . Por lo tanto, esto significa que encontramos nuevas familias de colectores CY, todo el tiempo. Pero los valores de sus números de Hodge, por alguna razón, permanecen en la misma región. Por supuesto, esto podría significar fácilmente que sólo nos falta una buena construcción.

La última observación es que en la primera versión de esta cuestión se propuso considerar las variedades analíticas complejas con $c_1=0$ . Si no imponemos la condición de ser Kahler, entonces ya en dimensión compleja 2 hay un número infinito de tipos topológicos, dados por las superficies de Kodaira, que son haces elípticos sobre curva elíptica. En dimensión compleja 3 Tian ha demostrado que para cada $n>1$ existe una estructura holomórfica en la suma conectada de n copias de $S^3\times S^3$ con una forma holomorfa no evanescente. Seguramente estas variedades son no-Kahler. Así que si quieres hablar de cualquier finitud, tienes que discutir, por ejemplo, Kahler 3-folds con forma holomorfa de volumen no evanescente, pero no todos los analíticos complejos.

Answer 2

La característica de Euler más pequeña conocida de un triplete de Calabi-Yau es -960. El triplete es una hipersuperficie en el espacio proyectivo ponderado P_(1,1,12,28,42).

Hay algunas ideas de la dualidad tipo IIA-heterotica que sugieren que esto es extremo, pero ni siquiera es una prueba física.

Obsérvese que 42 aparece como el mayor denominador posible al escribir 1 como la suma de fracciones egipcias 1 = 1/2+1/3+1/7+1/42.

(1) A. Degeratu, K. Wendland: ¿Gigante amistoso se encuentra con instantones puntuales? Sobre una nueva conjetura de John McKay http://www.opus-bayern.de/uni-augsburg/volltexte/2007/700/pdf/mpreprint_07_037.pdf

(2) Kachru y Vafa, hep-th/9505105

Para los 4 pliegues, véase: (3) http://arxiv.org/abs/hep-th/9701023v2

Answer 3

Voy a exponer a grandes rasgos la interpretación física de las variedades de Calabi-Yau en la teoría de cuerdas.

Estamos estudiando partículas que se mueven en 10 dimensiones del espacio-tiempo. Queremos elegir estas 10 dimensiones para que el espaciotiempo tenga un aspecto realista, así que elegimos que nuestra 10-manifold lorentziana sea $R^{1,3}\times X$ donde $X$ es un 6-manifold compacto. Si elegimos $X$ sea lo suficientemente pequeño, entonces a bajas energías $X$ no es directamente observable. Así, para un observador que estudie el mundo con sondas de baja energía, el espacio-tiempo sólo tendrá las conocidas 4 dimensiones.

Sin embargo, no se puede elegir $X$ de forma totalmente arbitraria. La teoría de la relatividad general de Einstein nos dice que la métrica en $X$ lleva energía medida por su curvatura de Ricci. En ausencia de materia, es decir $in \ the \ vacuum,$ el espaciotiempo debe estar en una configuración plana de Ricci de mínima energía. Así que $X$ debe ser tal que admita una métrica de curvatura de Ricci evanescente.

Para llegar a la condición de Calabi-Yau tenemos que añadir un criterio físico más y se llama supersimetría. La supersimetría es una conjetura extremadamente atractiva de la naturaleza que dice que los bosones (por ejemplo, los fotones) y los fermiones (por ejemplo, los electrones) están emparejados y relacionados. Matemáticamente, los fermiones se describen mediante campos con valor de espinor en el espaciotiempo, mientras que los bosones se describen mediante funciones o formas únicas en el espaciotiempo. Para relacionar estos objetos, y así tener una teoría con supersimetría, lo que se requiere es un campo espinor covariantemente constante en $X$ . Esta restricción de $X$ reduce su holonomía a partir de la de un 6-manifold general de Rieman, $SO(6)$ , a $SU(3)$ . En efecto, $SO(6)$ es localmente isomorfo a $SU(4)$ y la representación del espinor es $4 \oplus \bar{4}$ donde 4 denota la representación fundamental de $SU(4)$ . Desde $X$ admite un espinor covairantemente constante su holonomía debe estar contenida en el subgrupo de $SU(4)$ que estabiliza un espinor, y está claro por la descomposición anterior que este subgrupo es $SU(3)$ . Por lo tanto, para la supersimetría, $X$ debe ser Calabi-Yau.

Por tanto, ahora podemos afirmar con claridad qué es lo que describen físicamente las tríadas de Calabi-Yau. Son configuraciones de vacío de energía mínima de la teoría de cuerdas en las que la física es supersimétrica. Para más detalles se puede consultar el libro "Mirror Symmetry" de Vafa y Zaslow.