Demostrando que $\gcd(ac,bc)=|c|\gcd(a,b)$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ un elemento de $\mathbb{Z}$ con $a$ y $b$ no es cero y deja que $c$ sea un número entero no nulo. Demostrar que $$(ca,cb) = |c|(a,b)$$

Answer 1

A continuación se muestra una prueba de la ley distributiva para los GCD que funciona en todos los ámbitos.

TEOREMA $\rm\quad (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe

Prueba $\rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$

Ver mi publicar aquí para profundizar en esta propiedad y su relación con Lemma de Euclides .

Answer 2

Dejemos que $d = (ca,cb)$ y $d' = |c|(a,b)$ . Demostrar que $d|d'$ y $d'|d$ .

Answer 3

Si $(a,b)=d$ entonces la ecuación $ax+by=dz$ tiene una solución para todos $z \in \mathbb{N}$ y esto implica que $acx+bcy=(dc)z$ admite una solución para todos $z \in \mathbb{N}$ . Y de ahí podemos deducir el resultado que debe aparecer en todo libro de teoría numérica elemental.
Además, no has ofrecido tu motivación, lo que absolutamente hará que el post sea mejor.