Función de densidad de Cauchy para el movimiento browniano

Question

Dejemos que $\{W(t):t\geq0\}$ sea un movimiento browniano, y sea $\{\mathcal{F}_{t},t\geq0\}$ sea su filtración natural. Sea $\{W_{2}(t):t\geq0\}$ sea un movimiento browniano, independiente de $\{W(t):t\geq0\}$ . Denote, para $a>0$ , $$\tau_{a}=\inf\{t\geq0:W(t)=a\}.$$ Utilizando que la densidad de probabilidad del primer tiempo de golpeo de $a>0$ para el movimiento browniano viene dado por $$f(t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{ae^{-a^2/2t}}{\sqrt{2\pi t^{3}}}&\text{if }t>0\\ 0&\text{otherwise}. \end{array} \right. $$ Demuestre que la probabilidad denisty de $W_{2}(\tau_{a})$ viene dada por la función de densidad de Cauchy $$f(y)=\frac{a}{\pi(a^{2}+y^{2})},\quad y\in\mathbb{R}.$$

En primer lugar, no entiendo bien la pregunta. ¿Es la función de densidad de Cauchy la función de densidad de probabilidad del segundo movimiento browniano en el tiempo $\tau_{a}$ ¿ cuando se detiene el primer movimiento browniano? La distribución de un movimiento browniano debería tener una varianza creciente, mientras que la media sigue siendo cero. No entiendo la distribución de densidad de Cauchy en este caso.

Answer 1

"¿Es la función de densidad de Cauchy la función de probabilidad del segundo movimiento browniano en el tiempo $\tau_a$ cuando se detiene el primer movimiento browniano?" Sí.

"La probabilidad de un movimiento browniano sólo debe tener una varianza creciente, mientras que la media sigue siendo cero. No entiendo la distribución de densidad de Cauchy en este caso". Como $a$ aumenta, también lo hará $\tau_a$ en general; y aunque una distribución Cauchy no tiene varianza finita, la distribución se vuelve más dispersa a medida que $a$ aumenta. Así que no parece haber un conflicto con su comprensión de que la varianza del movimiento browniano es creciente en el tiempo.

Y la solución al problema: \begin{align} f_{W_2(\tau_a)}(y)dy &=P[W_2(\tau_a)\in(y,y+dy)]\\ &=\int_{t=0}^\infty P[W_2(\tau_a)\in(y,y+dy)|\tau_a=t]f_{\tau_a}(t)dt\\ &=\int_{t=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{2t}}dy\frac{1}{\sqrt{2\pi t^3}} ae^{-\frac{a^2}{2t}}dt\\ &= \left(\int_{0}^\infty \frac{a}{2\pi t^2}e^{-\frac{y^2+a^2}{2t}}dt\right)dy,\quad\text{let }s=\frac{1}{t},\\ &= \left(\int_\infty^0\frac{as^2}{2\pi}e^{-\frac{y^2+a^2}{2}s}\left(-\frac{1}{s^2}\right)ds \right)dy\\ &=\left( \int_0^\infty\frac{a}{2\pi}e^{-\frac{y^2+a^2}{2}s}ds \right)dy\\ & = \frac{a}{\pi(a^2+y^2)}dy. \end{align}