¿Qué áreas de la física debería estudiar un matemático para entender TQFT?

Question

Estoy estudiando teoría cuántica de campos topológica desde el punto de vista de las matemáticas (tratado axiomático). Por lo tanto, no tiene ninguna explicación sobre física. Me gustaría conocer el trasfondo físico de TQFT. Pero solo he tomado algunas clases básicas de física cuando era universitario.

¿Qué áreas de la física están relacionadas con TQFT? (He escuchado que QFT y la teoría de campos conforme están estrechamente relacionadas. Pero no sé cómo.) Si tengo un nivel de postgrado en matemáticas, ¿es posible estudiar directamente esas asignaturas relacionadas? ¿O debería empezar estudiando desde la física básica primero, como la mecánica cuántica o la teoría de la relatividad?

Si puedes sugerir alguna referencia sobre TQFT que permita a personas con formación en matemáticas entender fácilmente la motivación física u origen físico de TQFT, eso también sería útil.

Answer 1

Cuando Atiyah escribió sus axiomas para una TQFT, se inspiró en axiomas similares que Segal ideó para describir CFTs de 2 dimensiones. Una buena explicación de la motivación física desde el punto de vista axiomático se encuentra en las conferencias de Segal (él está hablando de axiomas para QFTs pero reconocerás partes de los axiomas para TQFTs), pero también puedes echar un vistazo al artículo original de Atiyah. Otra buena referencia es el Prehistoria de la física n-categórica de Baez o el discurso en el ICM de Witten.

Las teorías cuánticas de campos topológicos son realmente ejemplos de Teorías Cuánticas de Campos. Su característica común es, aproximadamente, que la "evolución temporal" solo depende de cambios en la topología. Eso corresponde al axioma $Z(M \times [0,1]) = id_{Z(M)}$. Un físico lo expresaría como "el Hamiltoniano se anula".

La razón por la cual el funtor suele llamarse $Z$ es porque debería recordarte a "Zustandssumme", el término alemán para función de partición. Cuando un físico quiere estudiar un problema en física estadística o teoría cuántica de campos (están relacionados), a menudo comienza escribiendo una función de partición (también llamada integral funcional/Feynman/Pathintegral en este contexto)

$$Z_M[J] = \int_{C(M)} D\phi\; \exp(-S[\phi] + J\phi)$$

donde $C(M)$ es algún espacio de "campos" en una variedad fija $M$. Puedes pensar en los axiomas como propiedades que una función de partición razonable debería tener. El lenguaje común de CFT/QFT/TQFT es el lenguaje de esas integrales funcionales.

Para entender esto desde una perspectiva física, deberías al menos entender algo de mecánica cuántica. No estoy seguro de qué buenos libros hay para matemáticos, pero creo que ha habido una pregunta al respecto en mathoverflow. Luego, por supuesto, está el conjunto de dos volúmenes "Campos y Cuerdas Cuánticas: Un curso para matemáticos". Las notas de las cuales se hicieron los libros aún se pueden encontrar en línea en el sitio web del ias.

Answer 2

Puedes comenzar con la electrodinámica masiva de Chern-Simons. Esta es una electrodinámica tridimensional (una teoría muy física) con el Lagrangiano:

$$ S = \int {1\over 4g^2} F^2 + m\epsilon^{ijk} A_i F_{jk} $$

El límite topológico es $g\rightarrow\infty$ (elimina el término cinético habitual). La teoría de Chern-Simons de Witten, la teoría del polinomio de Jones, es la generalización no abeliana natural, nuevamente en el límite $g\rightarrow\infty$. Esta es la versión regulada natural, y debería estar más matemáticamente bien definida que la versión topológica no regulada.

La versión topológica es singular, porque el flujo a través de un nudo depende del tipo de nudo, y es discontinuo cuando el nudo se mueve para cruzarse a sí mismo y convertirse en un nudo diferente. El término cinético en lo anterior suaviza la singularidad, y hace que la teoría sea físicamente definible por reguladores. Dado que está en 3D, también debería tener una versión rigurosa, aunque no conozco el trabajo realizado en este aspecto.

Answer 3

Un libro que me gustó fue "Quantum Field Theory In A Nutshell" de Zee. Está escrito de una manera bastante informal (bueno, para un libro de texto de todos modos) y asume que tienes un buen conocimiento de matemáticas. Tampoco es un libro de quantum de nivel introductorio, y asume que has tenido al menos un curso en mecánica cuántica antes - notación de bra-cet y cosas así.