Determinación de la constante de Lipschitz para un campo vectorial especial

Question

Demos un campo vectorial $v: C \subset \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ que tiene la estructura especial dada por $$ v(x) = \alpha(x) \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$ con un campo escalar $\alpha: C \to \mathbb R$ . Suponemos también que $C$ es un subconjunto compacto de $\mathbb R^n$ .

Quiero determinar una buena constante de Lipschitz para este campo vectorial, es decir, encontrar $L$ tal que para todo $x,y \in C$ tenemos $$ \| v(x)-v(y) \| \le L \| x- y\|. $$ Ahora, debido a la estructura muy específica del campo vectorial $v$ Inmediatamente tuve la idea de que $L$ se podría dar $$ L = \max_{x \in C} \| \nabla \alpha (x) \|. $$ ¿Podría alguien confirmarlo, por favor? Si esto resulta ser correcto, ¿cómo se podría demostrar con rigor? Gracias.

Answer 1

La forma de relacionar la derivada con la constante de Lipschitz es considerar las restricciones a los segmentos de línea, y aplicarles el teorema del valor medio. Sin embargo, esto plantea el problema de convexidad de $C$ ya que, en general, el segmento de línea no se encuentra en $C$ .

Suponiendo que $C$ es convexo

Entonces $L = \max_{x \in C} \| Dv (x) \|$ , donde $\|\cdot\|$ significa la norma del operador de la matriz $D v$ . Para encontrar $D v$ Utiliza la regla del producto: $$ D (\alpha(x) x) = (\nabla \alpha(x) )\otimes x +\alpha(x) I \tag1 $$ donde $\otimes $ es el producto exterior . Entonces utiliza la desigualdad del triángulo: $$ \|D (\alpha(x) x)\|\le \| (\nabla \alpha(x) )\| \|x\| + |\alpha(x)| $$ y tomar el supremum sobre $x\in C$ .

Suponiendo que $C$ es cuasiconvexo

Igual que el anterior, pero con $L \le M\max_{x \in C} \| Dv (x) \|$ donde $M$ es la constante de cuasiconvexidad.

General $C$

Se puede pasar al casco convexo de $C$ y aplicar la primera parte. El supremum de la derivada se tomará sobre el casco convexo.