Criptomorfismos

Question

Tengo curiosidad por recopilar ejemplos de axiomatizaciones equivalentes de estructuras matemáticas. Los dos ejemplos que tengo en mente son

1. Espacios topológicos. Pueden definirse en términos de conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, vecindades, los axiomas de cierre de Kuratowski, etc.

2. Matroides . Pueden definirse mediante conjuntos independientes, bases, circuitos, funciones de rango, etc.

¿Hay otros buenos ejemplos?

En segundo lugar, ¿cuáles son las ventajas de las axiomatizaciones múltiples?

Evidentemente, una de las ventajas es que se puede trabajar con la definición más conveniente en función de la tarea que se realice. Otra es que permiten diferentes generalizaciones del objeto en cuestión. Por ejemplo, los matroides infinitos pueden axiomatizarse adaptando los axiomas de conjunto independiente, pero se desconoce cómo axiomatizarlos mediante los axiomas de circuito. Una respuesta aceptable a la segunda pregunta sería un ejemplo de una prueba en un sistema de axiomas que no se traduce fácilmente (no sé cómo precisar esto) en otro sistema de axiomas.

Answer 1

El fenómeno que creo que tienes en mente tiene un nombre: criptomorfismo . Aprendí el nombre de los escritos de Gian-Carlo Rota; el ejemplo favorito de Rota era, en efecto, los matroides. Gerald Edgar me informa de que el nombre se debe a Garrett Birkhoff.

Creo que las matemáticas modernas están repletas de criptomorfismos. En mi clase de hoy, he presentado el "Lemma Omnibus de Hensel". La parte a) era: las siguientes cinco condiciones de un campo valorado son todas equivalentes. La parte b) era: los campos completos satisfacen estas propiedades equivalentes. Hay muchas más condiciones equivalentes que las cinco que he enumerado: véase

Una forma desconocida (para mí) del Lemma de Hensel

y especialmente la respuesta de Franz Lemmermeyer para más caracterizaciones.

Yo diría que la existencia de criptomorfismos es un signo de la riqueza y la naturalidad de un concepto matemático -significa que tiene una existencia que es independiente de cualquier forma particular de pensar en él- pero que, por otro lado, la existencia de criptomorfismos no obviamente equivalentes tiende a complicar las cosas, no a facilitarlas: hay que aprender varios lenguajes diferentes a la vez. Por ejemplo, el origen de la pregunta que he citado más arriba fue el hecho de que en la clase del martes me p damente eligió la forma incorrecta del lema de Hensel para intentar deducir otra versión del lema de Hensel: ¡no funcionó! Como somos seres finitos y temporales, a menudo nos conformamos con aprender sólo algunos de los lenguajes, y esto puede dificultar nuestro entendimiento y también alejarnos de problemas que están más naturalmente formulados y atacados a través de los lenguajes que no dominamos. Algunos ejemplos más:

Creo que el primer caso serio (es decir, el más elemental) de criptomorfismo es el determinante. Incluso la definición de expansión de Laplace del determinante da algo como $n$ El hecho de que estos cálculos diferentes no sean obviamente equivalentes es ciertamente una fuente de consternación para los estudiantes de álgebra lineal. Por no hablar de las diferentes maneras en que queremos que los estudiantes piensen en los determinantes. Es "sólo" el cambio de volumen con signo de una transformación lineal en el espacio euclidiano (y el determinante sobre un anillo conmutativo general puede reducirse a este caso). Y es "sólo" el factor de escala inducido en la potencia exterior superior. Y es "sólo" el único escalar $\alpha(A)$ lo que hace que la ecuación adjunta $A*\operatorname{adj}(A) = \alpha(A) I_n$ mantener. Y así sucesivamente. Hay que ser bastante sofisticado matemáticamente para entender todas estas cosas.

Otros ejemplos:

Redes frente a filtros para la convergencia de espacios topológicos. La mayoría de los textos estándar eligen uno y aluden brevemente al otro. Como ha señalado G. Laison, esto supone un perjuicio para los estudiantes: si quieres hacer análisis funcional (o leer obras de matemáticos estadounidenses), más vale que sepas de redes. Si quieren hacer álgebra topológica y/o lógica (o leer obras de matemáticos europeos), más vale que sepan de filtros.

Existen (al menos) tres axiomatizaciones del concepto de espacio uniforme (i) séquitos, (ii) cubiertas uniformes, (iii) familias de pseudométricos. Se podría desarrollar la teoría completa utilizando sólo una, pero en varios puntos las tres tienen sus ventajas. ¿Hay alguien que no desee que haya una sola definición que funcione igual de bien en todos los casos?

Answer 2

Para una toma, véase Conferencias de Feynman en Cornell . Entre otras cosas, habla de que hay muchas axiomatizaciones equivalentes para la física. Aunque las diferentes axiomatizaciones son matemáticamente equivalentes, sugieren diferentes comprensiones del mundo y, por tanto, diferentes experimentos, por un lado, y diferentes metafísicas, por otro.

Answer 3

He aquí un ejemplo que siempre me ha parecido fascinante.

• Marcos son retículos completos que satisfacen la ley distributiva infinita $$U \wedge \bigvee_{i \in I} V_i = \bigvee_{i \in I} U \wedge V_i.$$ En la topología sin puntos, se utilizan para abstraer la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico.

• Álgebras completas de Heyting son retículos completos que tienen una operación binaria ${\Rightarrow}$ que satisface $$U \wedge V \leq W \quad\mbox{iff}\quad U \leq V \Rightarrow W.$$ Se utilizan principalmente para interpretar la lógica intuicionista.

El hecho de que estos dos tipos de retículos sean criptomórficos es esencialmente el Teorema del Funtor Adjunto (cuando se ve el orden parcial subyacente como una categoría).

Answer 4

Hay buenos ejemplos en geometría. Por ejemplo, el plano euclidiano puede caracterizarse, por un lado, por los axiomas de Hilbert y, por otro, por los los axiomas del campo completo ordenado $+$ espacio vectorial $+$ producto interior.

Otro ejemplo es el de un plano de Pappian, caracterizado por un lado por los tres axiomas del plano proyectivo $+$ El teorema de Pappus, por otro lado por el axiomas de campo (a partir de los cuales se puede construir el plano mediante coordenadas homogéneas).

Answer 5

Si no te importa trabajar en lógica ecuacional (sin símbolos de relación aparte de la igualdad, y centrándose sólo en ecuaciones cuantificadas universalmente), entonces hay muchos ejemplos en el álgebra universal. Los grupos tienen axiomatizaciones con y sin símbolo de inverso, e incluso dentro del mismo lenguaje hay interés en axiomatizaciones alternativas para la misma teoría, por ejemplo, álgebras booleanas, álgebras de Heyting, retículos.

Si quieres lógicas con más poder expresivo, puedes considerar también los resultados de interpretabilidad, que son formas de "codificar" una teoría en otra. Sólo conozco aplicaciones de esto para mostrar la indecidibilidad de las teorías, pero hay un estudio de otros objetos alrededor de la noción de interpretabilidad que Ralph McKenzie y otros han creado/descubierto.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2010.02.18