¿Cuándo un número real es algebraico?

Question

Por definición - Un número real es algebraico si es raíz de una ecuación polinómica no nula con coeficientes racionales. ¿Qué significa ecuación polinómica no nula?

Pues bien, una ecuación f(x) = x -5, se hace cero cuando x = 5, por lo que se trata de una ecuación polinómica cero. ¿La definición dice que la ecuación no debe ser igual a cero en ningún caso?

¿Puede alguien aclarar esto?

Answer 1

Dejemos que $P_0(x):=0$ sea el CERO-POLINOMIO.

Si no evitamos este caso patológico, entonces todo número real sería algebraico, ya que todo número real es una "solución" de la ecuación $P_0(x)=0$ (incluso $\pi$ o $e$ ).

Answer 2

Un polinomio cero es un polinomio que da $0$ para todos los valores de $x$ ,

Básicamente $P(x)=0$ significa que no importa lo que $x$ que pongas ahí, el resultado siempre será cero. Para su ejemplo, $P(x)=x-5$ no es un polinomio cero porque sólo hay un número finito de $x$ para los que el polinomio será $0$ . En este caso sólo hay una $x$ . Y eso es $5$ .

Y un número real es algebraico si existe un no $\color{green}{\textrm{constant}}$ polinomio con coeficientes racionales, tal que el número real es una de las raíces del polinomio.