Condición suficiente para la diferenciabilidad en los puntos finales.

Question

Dejemos que $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ sea diferenciable en $(a,b)$ con la derivada $g=f^{\prime}$ allí.

Afirmación: Si $\lim_{x\to b^{-}}g(x)$ existe y es un número real $\ell$ entonces $f$ es diferenciable en $b$ et $f^{\prime}(b)=\ell$ ?

¿Es correcta esta afirmación? En caso afirmativo, proporcione pistas para una $\epsilon-\delta$ argumento. Si no es así, ¿puede hacerse cierto si reforzamos algunas condiciones en $g$ (continuidad en $(a,b)$ etc.)? Proporcione contraejemplos.

Personalmente creo que la adición de la continuidad de $g$ en la hipótesis no cambiará nada como por ejemplo $x\sin \frac{1}{x}$ tiene una derivada continua en $(0,1)$ pero su derivada oscila cerca de $0$ . También sé que lo contrario no es cierto.

Además, si ese límite es infinito, entonces $f$ no es diferenciable en $b$ ¿verdad?

Answer 1

Desde $$f(b+h)-f(b)=f'(\xi)h$$ para algunos $\xi \in (b-h,h)$ , puede dejar que $h \to 0^{-}$ y concluir que $f'(b)=\lim_{x \to b-}f'(x)$ . Por otro lado, considere $f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}$ . Es fácil comprobar que $\lim_{x \to 0} f'(x)$ no existe, y sin embargo $f'(0)=0$ .

Editar: esta respuesta supone tácitamente que $f$ es continua en $b$ . La pregunta no contiene este supuesto, aunque creo que debe quedar claro que una función discontinua no puede ser diferenciable en absoluto.

Answer 2

Esto es claramente falso como se ha dicho. Por ejemplo, considere $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ , $f(1)=1, f(x)=0$ de lo contrario.