Hay siempre un bijection entre un universo de la teoría de conjuntos y sus números ordinales?

Question

Asumir ZFC (y AC en particular) como el fondo de la teoría.

Si $(M,\in^M)$ es un modelo de ZFC (no necesariamente transitivo o estándar), deben existir un bijection entre el $M$ $$\{x \in M \mid (M,\in^M) \models x \mbox{ is an ordinal number}\}?$$

Yo también estoy interesado en los casos en que $M$ se supone que es un modelo de ZFC2.

Observación. Creo que esto es diferente de lo que se pide aquí. Por favor comente si usted cree lo contrario; estoy feliz de discutir.

Answer 1

La respuesta es sí. Sin embargo, la respuesta es no, si se requiere el modelo para saber el bijection. Más específicamente, la existencia de una clase bijection entre el $V$ y sus ordinales es equivalente al axioma de global elección, y que es coherente que $\mathsf{ZFC}$ mantiene, sino global elección falla.

Ahora, dado ninguna (set), modelo $M$$\mathsf{ZFC}$, para cada una de las $\alpha$ ordinal de $M$ hay (en $M$) un bijection $f$ $V_\alpha$ y algunos ordinal $\beta$$M$. Cualquier $f$ nos da un verdadero bijection entre el$\hat\beta=\{a\in M\mid M\models a<\beta\}$$\hat V_\alpha=\{b\in M\mid M\models b\in V_\alpha\}$, mediante el establecimiento de $$\hat f=\{(a,b)\in M\times M \mid M \models a<\beta,b\in V_\alpha,\& \,b=f(a)\}.$$ This proves that $$|M|=\left|\bigl(\bigcup_{a\in\mathsf{ORD}^M}V_a\bigr)^M\right|\le|\mathsf{ORD}^M|\sup_{a\in\mathsf{ORD}^M}|\hat V_a|\le |\mathsf{ORD}^M|\sup_{b\in\mathsf{ORD}^M}|\hat b|=|\mathsf{ORD}^M|.$$

La respuesta es no, si reemplazamos $\mathsf{ZFC}$$\mathsf{ZF}$. De hecho, podemos tener modelos transitivos de $\mathsf{ZF}$ que son innumerables y han countably muchos ordinales, véase, por ejemplo, aquí.

Answer 2

Modulo posible sutilezas acerca de la no transitiva modelos, entiendo que es la misma pregunta que porque ser un ordinal es absoluta para modelos transitivos. Acerca de (2), infinito cardenales (para que todos los cardenales) y ordinales son en bijective correspondencia con los ordinales a través de la $\aleph$ función.