Interpretaciones condicionales e incondicionales de los tiempos medios de intercolisión

Question

Esta pregunta aparecía en una guía de estudio para mi examen escrito de posgrado en física. (Puede que sea la de la Universidad de Chicago.) Veo que aquí se hizo una pregunta similar ¿Cuál es el valor medio del tiempo transcurrido desde la última colisión en el modelo Drude? pero la discusión no se centró en el aspecto que voy a presentar.

Una partícula en un gas sufre colisiones aleatorias con otras partículas del gas. Los tiempos de intercolisión son exponenciales y se basan en la idea de que el número de colisiones por unidad de tiempo es descriptible como un proceso estocástico de Poisson. Consideremos una partícula en el tiempo $t_0$ . La distribución de tiempos hasta la próxima colisión se distribuye exponencialmente $f(t | \tau) = (1/\tau)\exp(-(t-t_0)/\tau)$ . Claramente, $\mathbb{E}[t-t_0] = \tau$ . Pero por simetría de inversión del tiempo, esto también describe el tiempo desde la última colisión. Entonces, ¿cuál es? ¿Es el tiempo medio entre colisiones $\tau$ o $2\tau$ ?

La pregunta siempre se sintió como una estafa $-$ en parte porque no he podido encontrar una respuesta generalmente aceptada. (Esto fue mucho antes de que existiera stackoverflow).

Mi opinión es que condicionado a saber que la partícula acaba de sufrir una colisión el tiempo medio hasta la siguiente colisión es efectivamente $\tau.$ Pero incondicionalmente, el tiempo desde/hasta la última/próxima colisión está correctamente $\tau$ por lo que calculamos que el último tiempo hasta el siguiente es $2\tau.$

El problema está en la definición exacta del término "tiempo medio entre colisiones". Como puede definirse como 1) incondicionalmente "tiempo hasta la siguiente colisión", entonces es $\tau$ (pero no hace referencia a la última colisión, por lo que quizás esta definición no responda al nombre) o 2) condicionado a que acabe de producirse una colisión, "tiempo hasta la próxima colisión" = $\tau$ o 3) incondicionalmente, "tiempo desde la última colisión hasta la próxima colisión", para una partícula seleccionada al azar cuyo pasado es tan desconocido como su futuro, en cuyo caso es de hecho $2\tau.$

¿Hay consenso sobre este punto?

Answer 1

El proceso de Poisson se define axiomáticamente como un proceso de conteo $N(t)$ para $t>0$ tal que,

1. $N(t=0)=0$ .
2. Los incrementos son independientes.
3. El número de eventos en cualquier intervalo de tiempo $t$ tiene una distribución de Poisson con media $\lambda t$ . Es decir, $$ \mathbb{P}(N(t)=n)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\left(\lambda t\right)^n/n!$$ para $n\in\mathbb{N}_0$ .

A partir de las condiciones 1 y 2, y del hecho de que el punto de partida $t$ es arbitraria, debería estar claro que su primera opción (ser incondicional) es la respuesta correcta: $\tau$ es el media tiempo desde un punto arbitrario hasta el siguiente evento, en lugar de un tiempo medio entre eventos (o incluso la mitad).