Un investigador sabe que la probabilidad de que una persona responda a su carta es del 10%. Si el investigador envía una carta pospagada, la probabilidad de que el receptor responda es del 40%. El investigador envía 5 cartas postpagadas y 5 cartas no postpagadas. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 3 respuestas?
La respuesta debería ser : 0,5193 ¿Cómo se puede calcular esto?
¿Puedo suponer que esto no es una tarea? Así que lo que tienes que calcular son las probabilidades para las respuestas 0, 1 y 2. Tomemos el 0 como el caso más sencillo Sólo ocurrirá si las cinco cartas post=pago y las cinco cartas no post=pago reciben respuesta. Por independencia es (0,90) $^5$ (0.60) $^5$ . Ahora añade la probabilidad de que sólo se devuelva 1. Hay dos formas de que esto ocurra, puede ser un postpago devuelto o un no postpago. Las probabilidades de los eventos disjuntos se pueden sumar. Para el caso de pospago es (0.60) $^4$ (0.40) $^1$ (0.90) $^5$ Pero hay 5 formas de que una carta postpagada sea contestada y sólo 1 forma de que las cinco cartas no postpagadas no sean contestadas. Así que este término es 5 (0,60) $^4$ (0.40) $^1$ (0.90) $^5$ y, de forma similar, para uno no remunerado 5 (0,90) $^4$ (0.10) (0.60) $^5$ . Por último, hay que añadir todos los casos en los que se contestan 2 letras. Esto puede ocurrir si se devuelven 2 cartas no pagadas o 1 no pagada y 1 pagada o 2 pagadas. Se suman los resultados de estas posibilidades a los de las demás para obtener la respuesta final. Los cálculos se hacen de la misma manera con el número de combinaciones para obtener 2 de 10 cartas seleccionadas. Cuando ambos son del grupo de pospago el factor es el número de combinaciones para elegir 2 de 5 que es 10. El mismo factor cuando ambos son del grupo de no-pago. Cuando es uno de cada uno hay 5 maneras de que el post-pago coincida con cualquiera de los 5 no post-pago. Así que el factor es 5x5 =25.
Si tienes R puedes llegar a eso mediante una disyunción de casos adecuada. La función dbinom(k, ...) es la probabilidad de que se observe exactamente $k$ éxitos y la función pbinom(k, ...) es la probabilidad de que se observe $k$ o menos éxitos.
La solución es la siguiente
dbinom(0, 5, prob=.4)*pbinom(2, 5, prob=.1) +
dbinom(1, 5, prob=.4)*pbinom(1, 5, prob=.1) +
dbinom(2, 5, prob=.4)*pbinom(0, 5, prob=.1)que es 0,519.
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