Entiendo que para una función lineal, como $f(x)=3x$ la derivada en el punto $x$ sería $3$ pero no entiendo por qué. La pendiente de la derivada es igual a la pendiente de la recta tangente, pero estaba pensando que la recta tangente no debería existir en una función lineal ya que tendría que tocar la gráfica en más de $1$ punto para ser paralelo en un punto determinado. En el punto $(0,0)$ en la mencionada $f(x)$ la derivada tendría una línea constante de $f'(x)=3$ pero eso no es perpendicular al punto.
Respuesta
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La definición de la derivada de una función $f$ en un punto $x$ viene dada por $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$ En este caso, tenemos $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3(x + h) - 3x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0} 3 = 3.$$ El límite existe, por lo que la función es diferenciable. Nótese que no hay suposiciones implícitas sobre cómo la linealidad interseca a la función. No hay ningún requisito de que la recta tangente intersecte una función exactamente una vez.
