¿Está todo conjunto compacto contenido en un conjunto convexo finitamente generado?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial normado. Sea $A$ sea un subconjunto convexo y (norma) compacto de $V$ . ¿Es cierto que existe un conjunto convexo $B$ que está generada por un número finito de puntos extremos, tal que int $B \supset A$ ?

Parece claro que el resultado es verdadero si $V$ es de dimensión finita. Para entonces podemos suponer $V = \mathbb{R}^n$ y se deduce que $A$ está acotado y contenido en algún $n$ -cubo que es el deseado $B$ .

Ahora bien, creo que el resultado es falso en general si $V$ es infinitamente dimensional (esto parece deducirse de algunos resultados que estoy estudiando actualmente), pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Esto no puede funcionar: Si $B$ es un conjunto convexo generado por un número finito de puntos $x_1\dots x_n$ en $X$ entonces $B$ está contenida en un subespacio de dimensión finita. Si se añade el requisito $int B\ne\emptyset$ entonces el espacio $V$ tiene que ser también de dimensión finita.

Por lo tanto, la afirmación falla para conjuntos compactos que no están contenidos en un subespacio de dimensión finita.