Restricción de un polinomio complejo al círculo unitario

Question

Estoy bastante seguro de que la siguiente afirmación es cierta. Agradecería cualquier referencia (o una prueba si la conoces).

Dejemos que $f(z)$ sea un polinomio en una variable con coeficientes complejos. Entonces existe la siguiente dicotomía. O bien podemos escribir $f(z)=g(z^k)$ para algún otro polinomio $g$ y algún número entero $k>1$ o la restricción de $f(z)$ al círculo unitario es un bucle con sólo un número finito de auto-intersecciones. (Lo que significa, más concretamente, que sólo hay un número finito de pares $(z,w)$ tal que $|z|=1=|w|$ , $z\neq w$ y $f(z)=f(w)$ .)

EDITAR. Aquí hay un par de razones por las que creo que la declaración es correcta.

1) El enunciado es equivalente a la siguiente afirmación. Consideremos el conjunto de todos los cocientes $z/w$ , donde $|z|=1=|w|$ y $f(z)=f(w)$ (aquí permitimos $z=w$ ). Si $f$ es un polinomio no constante, entonces este conjunto es finito.

[[ Aquí hay una prueba de que esta última afirmación implica la afirmación original. Supongamos que hay infinitos pares $(z,w)$ tal que $|z|=1=|w|$ , $z\neq w$ y $f(z)=f(w)$ . Entonces algún número $c\neq 1$ debe ocurrir con una frecuencia infinita, ya que la relación correspondiente $z/w$ . Sin embargo, esto implicaría que $f(cz)=f(z)$ (como polinomios). Es fácil comprobar que esto obliga a $c$ sea una raíz de la unidad, y si $k$ es el orden de $c$ entonces $f(z)=g(z^k)$ para algún polinomio $g(z)$ . ]]

Volviendo a esta última afirmación, obsérvese que el conjunto de todos esos cocientes es un subconjunto compacto del círculo unitario, y no es difícil ver que 1 debe ser un punto aislado de este conjunto. Así que es plausible que todo el conjunto sea discreto (lo que significaría que es finito).

2) Si no me equivoco, los experimentos con polinomios que implican un pequeño número de monomios no nulos (como 2 o 3) también confirman la conjetura original.

Answer 1

Tiene razón. Quine demostró en " Sobre las auto-intersecciones de la imagen del círculo unitario bajo un mapeo polinómico " que si el grado es $n$ y $f(z)\neq g(z^k)$ con $k>1$ entonces el número de puntos con al menos 2 puntos de preimagen distintos es como máximo $(n-1)^2$ . Un ejemplo muestra que esto es agudo. Aquí está el revisar en MR.

Después de la prueba, hay una observación:

Como simple consecuencia de este teorema observamos que un polinomio $p$ no se puede hacer un mapa $|z| < 1$ conformemente en un dominio con una rendija, ya que en este caso $p(e^{i\phi})$ tendría un número infinito de vértices.

Answer 2

La imagen del círculo unitario es una curva real-algebraica, por lo que el número de auto-intersecciones debe ser finito.

Adenda: No estoy seguro de cómo completar el argumento, pero aquí hay una heurística (siguiendo la sugerencia de Speyer). La curva $x^2+y^2=1$ es una curva racional (es decir, biracional a $\mathbb{CP}^1$ la esfera de Riemann), por lo que su imagen es también una curva racional (aquí, estoy pensando en el mapa $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ como un mapa polinómico $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ y su extensión a $\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$ y $\mathbb{CP}^2\to \mathbb{CP}^2$ ). La conjugación compleja da una involución antiholomórfica de $x^2+y^2=1$ fijando el círculo (en la esfera de Riemann, esto debe ser conjugado con la conjugación compleja). La imagen (en $\mathbb{CP}^2$ ) es una esfera singular, y de nuevo la conjugación compleja debe ser una involución antiholomórfica que fije la imagen del círculo unitario. Así que el mapa debería ser una composición de un mapa polinómico con un mapa de la esfera de Riemann que envíe el círculo al círculo. Todos estos mapas de la esfera de Riemann son productos de transformaciones de Mobius de la forma $\frac{z-\varphi}{1-\overline{\varphi}z}$ (esto es un ejercicio de Ahlfors, haciendo uso del lema de Schwarz). Si la composición debe ser un mapa polinómico, entonces $\varphi$ debe $=0$ en cada factor, y el mapa es de la forma $z^k$ . Mi geometría algebraica es bastante débil, así que no estoy seguro de que este argumento pueda ser riguroso (¡y probablemente no debería haber publicado una respuesta en primer lugar!).