Grupos Tate-Shafarevich y principio de Hasse (referencia)

Question

Estoy buscando una prueba del hecho de que el principio Hasse local-global se mantiene para una curva elíptica $E$ definido sobre $Q$ si y sólo si el grupo Tate-Shafarevich de $E$ se desvanece. Solo necesito saber donde puedo encontrar esto, libro/artículo y página debería ser suficiente. Gracias

Answer 1

El principio de Hasse se cumple automáticamente para una curva elíptica $E$ en $\mathbf{Q}$ . Por definición, $E$ tiene un punto marcado definido sobre $\mathbf{Q}$ .

La afirmación correcta es que el principio de Hasse es válido para una curva de género uno $C$ definido sobre $\mathbf{Q}$ si y sólo si $C$ representa la clase trivial en el grupo Tate-Shafarevich de su jacobiano. En particular, si $Ш(Jac(C)/\mathbf{Q})$ es trivial, entonces el principio de Hasse se cumple para $C/\mathbf{Q}$ . Sin embargo, es importante señalar que esta última afirmación no es un si y sólo un si. En particular, una curva elíptica con un grupo Tate-Shafarevich no trivial sigue satisfaciendo el principio de Hasse por la razón mencionada anteriormente.

Barry Mazur escribió un excelente artículo expositivo sobre los principios locales-globales en la geometría algebraica, que puede leer aquí . Para obtener la afirmación precisa que he mencionado anteriormente, basta con leer el capítulo X, secciones 3 y 4 de la obra de Silverman Aritmética de las curvas elípticas libro.