Resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Question

¿Cómo resolverías el siguiente sistema de EDOs?

\begin{align*} & x''(t) - \frac{2}{y}x'(t) \ y'(t) = 0 \ & y''(t) + \frac{1}{y} \big(x'(t) - y'(t)\big) = 0 \end{align*}

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

De la primera ecuación podemos concluir :

$\ln x'(t)= 2\ln y +C$ Así que $x'(t)=C_1\cdot y^2$

Si se introduce esto en la segunda ecuación se obtiene :

$y''(t)+\frac{1}{y}(C_1 \cdot y^2-y'(t))=0$

Ahora sustituye $y'(t)=v$ , donde $v$ es una función en términos de variable $y$ así que..:

$y''(t)=v'_{y}\cdot v$

De ahí que..:

$v'_{y}\cdot v+\frac{1}{y}(C_1 \cdot y^2-v)=0$

esta ecuación es equivalente a la EDO no lineal de primer orden:

$v'_y+C_1\cdot y \cdot v^{-1} -\frac{1}{y}=0$

que puede resolverse mediante métodos numéricos.