¿Es posible que una mezcla de RVs de Weibull esté también distribuida por Weibull, y si es así, cuáles son las condiciones necesarias?
Respuesta
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jldugger
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La función de supervivencia de Weibull con parámetro de forma $k$ y el parámetro de escala $\lambda$ (ambas positivas) tiene la forma
$$S(x; \lambda, k) = \exp\left(-(x/\lambda)^k\right)$$
para $x \gt 0.$ Una mezcla finita de $n$ tales distribuciones está determinada por los pesos positivos de la mezcla $p_i$ (necesariamente sumando a la unidad) y los parámetros correspondientes y tiene función de supervivencia
$$S = \sum_{i=1}^n p_i \exp\left(-(x/\lambda_i)^{k_i}\right).$$
La equiparación de estas dos expresiones y un análisis sencillo muestran lo siguiente:
-
Al estudiar el comportamiento asintótico de $\log S$ para grandes $x,$ concluir que
$k = k_1 = k_2 = \ldots = k_n.$
-
De nuevo estudiando este comportamiento asintótico asumiendo todas las $k_i$ son iguales a $k,$ concluir que
$\lambda = \lambda_1 = \ldots = \lambda_n.$
Son condiciones necesarias y suficientes.
En consecuencia,
$$\eqalign{ S &= \sum_{i=1}^n p_i \exp\left(-(x/\lambda_i)^{k_i}\right) \\ &= \sum_{i=1}^n p_i \exp\left(-(x/\lambda)^k\right) \\ &= \left(\sum_{i=1}^n p_i\right) \exp\left(-(x/\lambda)^k\right) \\ &= \exp\left(-(x/\lambda)^k\right) }$$
no es realmente una mezcla en absoluto.
Para ver un ejemplo de cómo se pueden llevar a cabo estas investigaciones asintóticas de forma rigurosa, véase esta respuesta a la misma pregunta sobre las distribuciones normales .
