Normas sobre C[0, 1] que inducen la misma topología que la norma sup

Question

Se trata de un viejo problema de deberes mío que nunca pude resolver. La solución puede o no implicar el teorema de la categoría Baire, que se me da fatal aplicar.

Dejemos que $C[0, 1]$ denotan el espacio de las funciones continuas $[0, 1] \to \mathbb{R}$ . Supongamos que $|| \cdot ||$ es una norma en $C[0, 1]$ con respecto a la cual las funciones de evaluación $f \mapsto f(x), x \in [0, 1]$ son continuos. Demuestre que la topología inducida por $|| \cdot ||$ es la misma que la topología habitual inducida por la norma sup.

Es sencillo demostrar que cualquier secuencia converge uniformemente con respecto a $|| \cdot ||$ . Estoy atascado en demostrar lo contrario; parece que no puedo averiguar cómo utilizar la suposición de que $|| \cdot ||$ es una norma.

Edición: Zhen Lin me informa que $|| \cdot ||$ se supone que está completo. T

Answer 1

Aquí está $\DeclareMathOperator{\ev}{ev}$ la respuesta si $(C[0,1], \|\cdot\|)$ se supone que está completo. Consideremos la familia $\mathcal{F} = \{\ev_{x}\}_{x \in [0,1]}$ de continuo funciones lineales en $(C[0,1],\|\cdot\|)$ . Para cada $f \in C[0,1]$ tenemos $\sup_{x \in [0,1]} |\ev_{x}(f)| \leq \|f\|_{\infty}$ , por lo que la familia $\mathcal{F}$ es acotado puntualmente . Por el principio de delimitación uniforme la familia es uniformemente acotado Es decir, que $\sup_{x \in [0,1]} \|\ev_{x}\| \leq M$ para alguna constante $M$ . Por otro lado $|f(x)| = |\ev_{x}(f)| \leq \|ev_{x}\|\|f\| \leq M \|f\|$ da $\|f\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \leq M\|f\|$ por lo que la identidad $(C[0,1], \|\cdot\|) \to (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty})$ tiene norma como máximo $M$ . Como ambos espacios son completos, podemos aplicar la teorema del mapa abierto para concluir que su inversa también es continua. En otras palabras, las normas $\|\cdot\|$ y $\|\cdot\|_{\infty}$ son equivalentes.

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Editar. He aquí un ejemplo que demuestra que la exhaustividad de la norma es necesaria:

Elija una discontinuo funcional lineal $\varphi: (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty}) \to \mathbb{R}$ y definir una norma sobre $C[0,1]$ por \[ |f\|| = |f\|_{\infty} + ||varphi(f)|. \] Dado que $\|f\|_{\infty} \leq \|f\|$ tenemos que la identidad $(C[0,1],\|\cdot\|) \to (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty})$ es continua. Dado que las funciones de evaluación son continuas con respecto a la supra-norma, también son continuas con respecto a la norma $\|\cdot\|$ . Pero como $\varphi$ es discontinua, existe una secuencia $f_{n}$ con $\|f_{n}\|_{\infty} = 1$ y $|\varphi(f_{n})| \to \infty$ por lo que las normas no pueden ser equivalentes. Por supuesto, $\|\cdot\|$ no puede ser completa porque la última frase estaría en contradicción con el teorema del mapa abierto.

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Editar 2.

Se me olvidó argumentar por qué las topologías del contraejemplo anterior no son las mismas. Esto es obvio: el funcional $\varphi$ es continua con respecto a $\|\cdot\|$ pero no es continua con respecto a $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Answer 2

He olvidado completamente la solución, pero creo que algo así podría funcionar: El conjunto $\mathcal{F}$ de todos los mapas de evaluación es una familia de operadores lineales acotados sobre $C[0, 1]$ . Basta con demostrar que $\mathcal{F}$ está uniformemente acotada, y entonces el límite uniforme te da la constante necesaria para establecer la equivalencia con la norma uniforme. No recuerdo cómo se establece la acotación uniforme, pero imagino que se aplica el principio de acotación uniforme.

Answer 3

Bien, suponiendo que sea completo, Theo proporcionó una prueba sencilla a continuación. Mi prueba anterior también funciona si se asume la integridad, pero es demasiado complicada.