Definición de la tensión mediante la integral: ¿el signo menos?

Question

Así que estoy estudiando electrostática y me encontré con dos definiciones diferentes de diferencia de potencial/tensión (porque estamos en regímenes estacionarios) y estoy teniendo problemas para entender cómo las expresiones son equivalentes.

Son para una tensión entre el punto A y el punto B

$$U=V_a - V_b =\int_{a}^{b} \textbf{E} \cdot d\textbf{s}$$

y, por otro lado,

$$U= V_b - V_a = - \int_{a}^{b} \textbf{E} \cdot d\textbf{s}$$

¿Cómo pueden representar ambas expresiones la diferencia de potencial entre los puntos A y B? ¿No son simétricas?

Answer 1

De la relación $$\mathbf{E} = - \nabla V$$ y el teorema del gradiente, podemos ver que $$\Delta V = \int_a^b \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s} = \int_a^b (-\nabla V) \cdot d \mathbf{s} = \int_b^a (\nabla V) \cdot d \mathbf{s} = V(a) - V(b)$$ Por tanto, la primera expresión es matemáticamente correcta. El campo eléctrico apunta de mayor a menor potencial. Sea $a$ estar en un potencial más alto que $b$ . Si se integra el campo eléctrico de $a$ a $b$ apunta en la misma dirección que la trayectoria, por lo que el producto punto dará una respuesta positiva, de acuerdo con $V(a) - V(b)$ . El segundo representa el potencial diferencia entre $a$ y $b$ que representa el trabajo requerido para mover una carga desde $a$ a $b$ , que es opuesto al campo, lo que da $V(b) - V(a)$ . Así que es mejor quedarse con la segunda.

Answer 2

La primera ecuación puede escribirse como $$ V_a - V_b = \int_a^b {\bf E}\cdot d{\bf s} =-\int_b^a{\bf E}\cdot d{\bf s}\,. $$ Esto se desprende de una regla de cálculo. Es la diferencia de potencial $V_a -V_b$ es decir, es el trabajo realizado por unidad de carga de prueba por una fuerza externa al mover la carga de prueba desde el punto $b$ para señalar $a$ sin que cambie la energía cinética de la carga de prueba.

La segunda expresión $$ V_b - V_a = - \int_a^b {\bf E}\cdot d{\bf s} $$

es la diferencia de potencial $V_b - V_a$ y es el trabajo realizado por unidad de carga de prueba por una fuerza externa al mover la carga de prueba desde el punto $a$ para señalar $b$ sin que cambie la energía cinética de la carga de prueba.

Así que las dos expresiones están relacionadas, pero el autor del texto que estás leyendo parece haber cometido un error y no fue claro al explicar los significados de las dos expresiones. También me disculpo por mi anterior respuesta incorrecta.