Sé que una parábola es el lugar de los puntos que se encuentran a igual distancia del foco y de la directriz.
¿Existe alguna descripción geométrica similar de las curvas cúbicas, que también me permita dibujar sus gráficas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
gagneet
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Supongo que por "ecuación cuadrática" te refieres a algo como
$$y=ax^2+bx+c$$
o algo así. La ecuación de una parábola es así si la directriz de la parábola es horizontal. Si no es así, la ecuación se complica. En general se escribe algo como $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\;.$$ Pero eso ya no es la ecuación de una simple parábola: otras secciones cónicas como elipses o hiperbolas también encajan en esa ecuación. Para una parábola se tiene la discriminante $b^2-4ac=0$ . En geometría proyectiva esto también podría ser visto como el línea en el infinito siendo un tangente a la sección cónica.
Así que una forma de generalizar de las parábolas a grado tres empezaría por observar que la generalización de una sección cónica (que es una curva algebraica de grado dos) sería una curva algebraica de grado tres, es decir, un curva cúbica . Entonces, entre todas estas curvas cúbicas, se elegirían las que tuvieran alguna relación especial con la línea del infinito. Uno podría elija los que la línea en el infinito es una tangente, con el punto de contacto que tiene multiplicidad algebraica dos. O uno podría elija los que intersecan la línea en el infinito en un solo punto de multiplicidad tres. Para el caso cuadrático, ambas opciones son iguales, por lo que cualquiera de ellas sería una generalización válida. Personalmente prefiero la primera.
Como la ecuación de una curva cúbica tiene $10$ (en lugar de $6$ para una sección cónica), las cosas se complican. Para la cúbica
$$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+ky+l=0$$
la curva tendrá una tangente en el infinito si y sólo si
$$b^2c^2-4ac^3-4b^3d+18abcd-27ad=0$$
ya que ese es el discriminante aquí.
No conozco ningún nombre ni aplicación para esa clase de curvas cúbicas que son tangentes a la recta en el infinito. Tampoco conozco una definición geométrica que sea una generalización obvia de la definición de parábola por foco y directriz.
