He aquí una prueba de lo finito dimensional caso a través de cualquier campo (finito o infinito):
Teorema. Deje $\mathbf{V}$ ser distinto de cero finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$. Si $\mathbf{V}$ es una unión de $\kappa$ apropiado subespacios, a continuación,$\kappa\geq|\mathbf{F}|$.
Prueba. Escribir $\mathbf{V}=\bigcup\limits_{k\in\kappa} W_{k}$, $W_k$ un adecuado subespacio de $\mathbf{V}$. Por la ampliación de la $W_k$ según sea necesario, podemos suponer que la $\dim(\mathbf{V}/W_i) = 1$ todos los $i$.
La prueba es por inducción sobre $\dim(\mathbf{V})$. El resultado es trivialmente cierto si $\dim(\mathbf{V})=1$, debido a $\mathbf{V}$ nunca es la unión de una adecuada subespacios en este caso.
Para el caso de $\dim(\mathbf{V})=2$, vamos a $\{w_1\}$ ser una base para $W_1$, y deje $v\notin W_1$. Para cada una de las $\alpha\in \mathbf{F}$ existe $j_{\alpha}\in\kappa$ tal que $w_1+\alpha v\in W_{j_{\alpha}}$. Por otra parte, si $\alpha\neq\beta$, $w_1+\alpha v$ $w_1+\beta v$ son linealmente independientes, ya que $\{w_1,v\}$ son una base para $\mathbf{V}$. Por lo tanto, no $W_k$ contiene más de un $w_1+\alpha v$. Esto le da una inyección de$\mathbf{F}$$\kappa$, lo que demuestra que el $\kappa\geq|\mathbf{F}|$, según se requiera.
Suponga que el resultado vale para $n$-dimensiones de espacios vectoriales, y deje $\mathbf{V}$ $(n+1)$- dimensional. Deje $\{w_1,\ldots,w_n\}$ ser una base para $W_1$, e $v\notin W_1$. Para cada una de las $\alpha\in\mathbf{F}$, considera el subespacio $W_{\alpha}=\mathrm{span}(w_1+\alpha v,w_2,\ldots,w_n)$. Si $W_{\alpha}$ es en algunas de las $W_k$, $W_{\alpha}=W_k$ por la dimensión de las consideraciones; y si $W_{\alpha}=W_{\beta}$,$\alpha=\beta$, de lo contrario, seríamos capaces de encontrar una combinación lineal no trivial que implican $w_1,\ldots,w_n,v$. Así que de nuevo hay una inyección de la serie
$$S=\{\alpha\in\mathbf{F} \mid W_{\alpha}=W_k\text{ for some }k\in \kappa\}$$
a $\kappa$. Si el conjunto tiene cardinalidad $|\mathbf{F}|$ hemos terminado. De lo contrario, deje $\alpha_0\in\mathbf{F}\setminus S$, y ver el $W_{\alpha_0}$. Para cada $k\in \kappa$, $W_{\alpha_0}\cap W_k\neq W_{\alpha_0}$; desde
$$W_{\alpha_0} = W_{\alpha_0}\cap\mathbf{V} = W_{\alpha_0}\cap\left(\bigcup_{k\in\kappa}W_k\right) = \bigcup_{k\in\kappa}(W_{\alpha_0}\cap W_k),$$
entonces, por la hipótesis de inducción tenemos que $\kappa\geq|\mathbf{F}|$. QED
Sospecho que un argumento similar se puede hacer en el caso de infinitas dimensiones; sin duda, podemos construir la análoga establecida en $S$, y si $|S|=|\mathbf{F}|$, entonces hemos terminado. Pero si no,$\dim(W_{\alpha})=\dim(\mathbf{V})$, por lo que no podemos realmente utilizar un argumento de reducción. Pero creo que puede haber una forma de modificar esto.
Como Pete L. Clark ha señalado, el resultado no se sostiene en el caso de infinitas dimensiones.
