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Un espacio vectorial sobre $R$ no es un contable de la unión de subespacios adecuada

Yo estaba buscando pruebas alternas de el teorema de que "un espacio vectorial $V$ de dimensión mayor que $1$ más de un infinito campo no es un sindicato de menos de $|\mathbf{F}|$ apropiado subespacios" y las posibles generalizaciones.

Una medida simple de la teoría de la prueba sobre $\mathbb{R}$ es como sigue: Por el contable de la suma la suma de las medidas de cualquier colección de subespacios es cero debido a la medida de cada subespacio es cero, lo cual es una contradicción.

Me gustaría ver las pruebas más arbitrario infinito campos y quisiera saber si declaraciones similares presionado para decir módulos (finitely generado o de otra manera) a través de infinitos anillos.

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Lorin Hochstein Puntos 11816

He aquí una prueba de lo finito dimensional caso a través de cualquier campo (finito o infinito):

Teorema. Deje $\mathbf{V}$ ser distinto de cero finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$. Si $\mathbf{V}$ es una unión de $\kappa$ apropiado subespacios, a continuación,$\kappa\geq|\mathbf{F}|$.

Prueba. Escribir $\mathbf{V}=\bigcup\limits_{k\in\kappa} W_{k}$, $W_k$ un adecuado subespacio de $\mathbf{V}$. Por la ampliación de la $W_k$ según sea necesario, podemos suponer que la $\dim(\mathbf{V}/W_i) = 1$ todos los $i$.

La prueba es por inducción sobre $\dim(\mathbf{V})$. El resultado es trivialmente cierto si $\dim(\mathbf{V})=1$, debido a $\mathbf{V}$ nunca es la unión de una adecuada subespacios en este caso.

Para el caso de $\dim(\mathbf{V})=2$, vamos a $\{w_1\}$ ser una base para $W_1$, y deje $v\notin W_1$. Para cada una de las $\alpha\in \mathbf{F}$ existe $j_{\alpha}\in\kappa$ tal que $w_1+\alpha v\in W_{j_{\alpha}}$. Por otra parte, si $\alpha\neq\beta$, $w_1+\alpha v$ $w_1+\beta v$ son linealmente independientes, ya que $\{w_1,v\}$ son una base para $\mathbf{V}$. Por lo tanto, no $W_k$ contiene más de un $w_1+\alpha v$. Esto le da una inyección de$\mathbf{F}$$\kappa$, lo que demuestra que el $\kappa\geq|\mathbf{F}|$, según se requiera.

Suponga que el resultado vale para $n$-dimensiones de espacios vectoriales, y deje $\mathbf{V}$ $(n+1)$- dimensional. Deje $\{w_1,\ldots,w_n\}$ ser una base para $W_1$, e $v\notin W_1$. Para cada una de las $\alpha\in\mathbf{F}$, considera el subespacio $W_{\alpha}=\mathrm{span}(w_1+\alpha v,w_2,\ldots,w_n)$. Si $W_{\alpha}$ es en algunas de las $W_k$, $W_{\alpha}=W_k$ por la dimensión de las consideraciones; y si $W_{\alpha}=W_{\beta}$,$\alpha=\beta$, de lo contrario, seríamos capaces de encontrar una combinación lineal no trivial que implican $w_1,\ldots,w_n,v$. Así que de nuevo hay una inyección de la serie $$S=\{\alpha\in\mathbf{F} \mid W_{\alpha}=W_k\text{ for some }k\in \kappa\}$$ a $\kappa$. Si el conjunto tiene cardinalidad $|\mathbf{F}|$ hemos terminado. De lo contrario, deje $\alpha_0\in\mathbf{F}\setminus S$, y ver el $W_{\alpha_0}$. Para cada $k\in \kappa$, $W_{\alpha_0}\cap W_k\neq W_{\alpha_0}$; desde $$W_{\alpha_0} = W_{\alpha_0}\cap\mathbf{V} = W_{\alpha_0}\cap\left(\bigcup_{k\in\kappa}W_k\right) = \bigcup_{k\in\kappa}(W_{\alpha_0}\cap W_k),$$ entonces, por la hipótesis de inducción tenemos que $\kappa\geq|\mathbf{F}|$. QED

Sospecho que un argumento similar se puede hacer en el caso de infinitas dimensiones; sin duda, podemos construir la análoga establecida en $S$, y si $|S|=|\mathbf{F}|$, entonces hemos terminado. Pero si no,$\dim(W_{\alpha})=\dim(\mathbf{V})$, por lo que no podemos realmente utilizar un argumento de reducción. Pero creo que puede haber una forma de modificar esto.

Como Pete L. Clark ha señalado, el resultado no se sostiene en el caso de infinitas dimensiones.

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Bryan Roth Puntos 3592

Escribí una breve nota en exactamente este problema. Aparecerá en el Mensual de uno de estos años.

Nota en particular de que su citada declaración no es necesariamente cierto para el infinito-dimensional espacios vectoriales: un infinito-dimensional espacio vectorial sobre cualquier campo puede ser cubierto por $\aleph_0$-muchos adecuado subespacios.

Usted pregunte también acerca de los módulos a través de los anillos. Sí, ha habido trabajar en eso. Creo que Apoorva Khare, un matemático que de forma independiente demostró que la mayoría de los resultados en mi nota, también tiene algo de trabajo en el caso de los módulos a través de varias sortijas. Si buscas en google por "cubren los números", usted encontrará que muchos, muchos trabajos sobre este tema se han escrito.

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