¿La imagen de una representación de Galois p-ádica se encuentra siempre en una extensión finita?

Question

He estado mirando la conjetura de Serre y me he dado cuenta de que hay dos convenciones en la literatura para una representación p-ádica $\rho:\mbox{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)\to \mbox{GL}(n,V).$ En algunas referencias (por ejemplo, el libro de Serre sobre $\ell$ -representaciones de la vida cotidiana), $V$ es un espacio vectorial sobre una extensión finita de $\mathbb Q_p$ . Sin embargo, en trabajos más recientes (por ejemplo, Buzzard, Diamond, Jarvis) $V$ es un espacio vectorial sobre $\bar{\mathbb Q_p}$ . Es fácil demostrar que la primera definición es un caso especial de la segunda, pero sospecho, y me gustaría demostrar, que en realidad son lo mismo. Es decir, me gustaría demostrar que la imagen de cualquier representación continua de Galois sobre $\bar{\mathbb{Q}_p}$ en realidad se encuentra en una extensión finita de $\mathbb Q_p$ .

¿Es este el caso?

Creo que una prueba debería utilizar el hecho de que $G_{\mathbb Q}$ es compacto y que $\bar{\mathbb Q}_p$ es la unión de extensiones finitas. He intentado imitar la prueba de que $\bar{\mathbb Q}_p$ no es completa, pero no han podido encontrar una secuencia de Cauchy apropiada en un subgrupo compacto arbitrario de GL( $n,V$ ).

(Esta es mi primera pregunta, así que siéntase libre de editarla si es apropiado. Gracias).

Answer 1

He intentado cortar y pegar aquí un argumento de un archivo a.tex, pero me ha salido un completo desastre, así que voy a dar un enlace a una página web ici .

En cuanto a los comentarios de Kevin y David sobre las pruebas que utilizan el teorema de la categoría de Baire, creo que la prueba que he publicado más arriba (debida a Warren Sinnott) debería considerarse desde una perspectiva diferente. Consideremos el teorema de que el cierre alg. de $\mathbf Q_p$ no está completo. Hay un par de pruebas diferentes de ello. (Nótese que Jen dijo que una prueba de ese teorema de no completitud es lo que estaba tratando de adaptar para demostrar el teorema de compacidad para los grupos de matrices, así que sospecho que la prueba en el enlace de arriba es la dirección que estaba tratando de seguir, independientemente de que otras pruebas del teorema de compacidad puedan considerarse más hábiles). Describiré brevemente dos de esas pruebas.

1. En el $p$ -libro de Koblitz, construye explícitamente una serie infinita $\sum c_ip^i$ con $c_i$ sur $\overline{\mathbf Q}_p$ de valor absoluto 1 y grado creciente sobre $\mathbf Q_p$ y luego usar la condición de grado creciente en los coeficientes para mostrar que la serie no puede converger en $\overline{\mathbf Q}_p$ aunque es Cauchy ya que el término general tiende a 0. (Esto es esencialmente lo que ocurre en la prueba de compacidad en el enlace que he puesto arriba, pero en un entorno multiplicativo: formar un producto de matrices que tienden a la identidad cuyas entradas tienen un grado cada vez mayor sobre $\mathbf Q_p$ . Las hipótesis de compacidad implican que el producto converge en $GL_n(\overline{\mathbf Q}_p)$ y entonces obtenemos una contradicción. El mismo argumento muestra que cualquier subgrupo aditivo compacto de $\overline{\mathbf Q}_p$ está dentro de una extensión finita de $\mathbf Q_p$ .)

2. En el libro de análisis ultramétrico de Schikhof, hay una prueba de que $\overline{\mathbf Q}_p$ no es completa, lo que utiliza el teorema de la categoría Baire: los elementos de $\overline{\mathbf Q}_p$ con grado hasta $n$ , ya que $n$ varía, proporciona una cobertura contable de $\overline{\mathbf Q}_p$ por subconjuntos cerrados que resultan no tener ningún punto interior, mientras que por supuesto su unión $\overline{\mathbf Q}_p$ tiene muchos puntos interiores. La formulación de conjuntos cerrados del teorema de la categoría de Baire es que una unión contable de subconjuntos cerrados que no tienen interior tampoco tiene interior. Por tanto, tenemos una contradicción, así que $\overline{\mathbf Q}_p$ no está completa.

No creo que estas dos estrategias para demostrar que un espacio es incompleto sean iguales, al menos psicológicamente: en la primera construyes explícitamente una secuencia de Cauchy no convergente y en la segunda demuestras que una propiedad general de los espacios completos no se cumple. Por la misma razón, creo que las pruebas Baire y no Baire de este teorema de compacidad son pruebas bastante diferentes.

Answer 2

Una prueba del resultado que buscas está contenida en el comienzo de la sección dos de un reciente trabajo de Skinner ici . Skinner menciona que las referencias de este hecho parecen ser escasas.